Revision history for SkriptPhysikZweiWellenMaschbau
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""<a name="wellen"><h4>wellen</h4></a>""
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""<p><a href="#wellen"><h5>wellen</h5></a>
""<a name="wellen">wellen</a>""
""<a name="wellen">wellen</a>""
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""<a name="wellen">1. Wellen</a>""
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""<p><a href="#wellen"><h5>1. Wellen</h5></a>
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""<p><a href="#wellen">1. Wellen</a>
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<a href="#mathematischebeschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>""
""<a href="elektromagnetischewellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a></p>""
<a href="#interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>""
""<a href="elektromagnetischewellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a></p>""
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<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>""
""<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a></p>""
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""<a name="wellen">1. Wellen</a>""
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""<h4 id="wellen">1. Wellen</h4>""
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""<h4><a name="wellen">1. Wellen</a></h4>""
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<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>""
""<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a></p>""
""<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a></p>""
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<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a></p>""
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""<h4><a name="wellen">Wellen</a></h4>""
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""<h4><a id="wellen">Wellen</a></h4>""
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""<p><a href="#wellen"><h5>1. Wellen</h5></a>
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""<p><a href="#wellen"><h5>Wellen</h5></a>
""<h4><a name="wellen">Wellen</a></h4>""
""<h4><a name="wellen">Wellen</a></h4>""
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""<p><a name="wellen">wellen</a></a>
""<h4><a href="#wellen"><h5>wellen</h5></h4>""
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<h4></h4>
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""<h4><a href="#wellen"><h5>wellen</h5></h4>""
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""<h4><a href="#wellen"><h5>wellen</h5></h4>""
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""<h4><a name="wellen">wellen</a></h4>""
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""<h4><a name="wellen">wellen</a></h4>""
""<h4><a name="wellen">wellen</a></h4>""
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""<h4><a name="wellen">1. Wellen</a></h4>""
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@@""<h5><a name="mathematische.beschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</a><h5>""@@
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""<h4><a name="wellen">1. Wellen</a></h4>""
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<a href="#anfang">Seitenanfang</a>
""<p><a href="#wellen"><h5>1. Wellen</h5></a>
<a href="#mathematische.beschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>
<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a></p>""
""<h5><a name="wellen">1. Wellen</a></h5>""
@@""<h5><a name="mathematische.beschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a><h5>""@@
""<p><a href="#wellen"><h5>1. Wellen</h5></a>
<a href="#mathematische.beschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>
<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a></p>""
""<h5><a name="wellen">1. Wellen</a></h5>""
@@""<h5><a name="mathematische.beschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a><h5>""@@
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""<p><a href="#wellen"><h5>1. Wellen</h5></a></p>""
""<a href="#MathematischeBeschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>""
""<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a>""
""<h4><a name="wellen">1. Wellen</a></h4>""
@@""<h4 href="MathematischeBeschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
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<p><a href="#anfang">Seitenanfang</a>
""<p><a href="#wellen"><h5>1. Wellen</h5></a></p>""
""<a href="#MathematischeBeschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>""
""<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a>""
- 2.1
""<h4><a name="wellen">1. Wellen</a></h4>""
@@""<h4 href="MathematischeBeschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
""<p><a href="#wellen"><h5>1. Wellen</h5></a></p>""
""<a href="#MathematischeBeschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>""
""<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a>""
- 2.1
""<h4><a name="wellen">1. Wellen</a></h4>""
@@""<h4 href="MathematischeBeschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
Deletions:
<a href="MathematischeBeschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>
<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a>""
- 2.1
""<h4 id="wellen">1. Wellen</a>""
@@""<h4 id="MathematischeBeschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
Additions:
@@""<h4 id="MathematischeBeschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
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Additions:
<a href="MathematischeBeschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
@@<h4 id="MathematischeBeschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
@@<h4 id="MathematischeBeschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
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@@<h4 id="mathematische beschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
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<a href="mathematische beschreibung"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
@@<h4 id="mathematische beschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
@@<h4 id="mathematische beschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>""@@
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@@==1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:==@@
Additions:
@@__=====Vorlesungsskript Physik II=====__@@
====__Gliederung:__====
""<a href="wellen"><h5>1. Wellen</h5></a>
""<h4 id="wellen">1. Wellen</a>""
====__Gliederung:__====
""<a href="wellen"><h5>1. Wellen</h5></a>
""<h4 id="wellen">1. Wellen</a>""
Deletions:
==__Gliederung:__==
""<a href="#Wellen"><h5>1. Wellen</h5></a>
""<h4 id="Wellen">1. Wellen</h4>""
Additions:
""<a href="#Wellen"><h5>1. Wellen</h5></a>
<a href="#1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>
<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a>""
""<h4 id="Wellen">1. Wellen</h4>""
<a href="#1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen"><h5>1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen</h5></a>
<a href="#1.2 Interferenz"><h5>1.2 Interferenz</h5></a>
<a href="#2. Elektromagnetische Wellen"><h5>2. Elektromagnetische Wellen</h5></a>""
""<h4 id="Wellen">1. Wellen</h4>""
Deletions:
- 1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen
- 1.2 Interferenz
- 2. Elektromagnetische Wellen
====1. Wellen====
Additions:
==__Gliederung:__==
- 1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen
- 1.2 Interferenz
- 2. Elektromagnetische Wellen
- 2.1
- 1.1 Mathematische Beschreibung eindimensionaler Wellen
- 1.2 Interferenz
- 2. Elektromagnetische Wellen
- 2.1
Deletions:
-
Additions:
==Gliederung:==
- 1. Wellen
-
- 1. Wellen
-
Additions:
**Von Interferenz** spricht man, wenn zwei oder mehr Wellen aufeinenander treffen, sich durchdringen und interferieren, also sich überlagern (siehe Abbildung 5). Diese Überlagerung kann man durch das sogenannte **__Superpositionsprinzip__** beschreiben.
Deletions:
Additions:
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg" text="Abbildung 10" alt="Abbildung 10" width="1000"}}
Deletions:
Additions:
__Nachfolgend (Abbildung 10) ist der für uns sichtbare Bereich des Lichtes dargestellt.__
Deletions:
Additions:
{{image url="Interferenz1.gif" title="Abbildung 6" alt="Abbildung 6" width="450"}}>> **In der Abbildung 6** interferieren zwei eindimensionale Wellen **{{color text="u1" c="green"}}** und **{{color text="u2" c="blue"}}** mit den oben beschriebenen Eigenschaften.
Diese Addition der Amplituden der einzelnen Wellen nennt man __Superposition.__ >>
Diese Addition der Amplituden der einzelnen Wellen nennt man __Superposition.__ >>
Deletions:
Diese Addition der Amplituden der einzelnen Wellen nennt man Superposition. >>
Additions:
===__Das Licht:__===
__Geschichte:__
**Bis weit in die Neuzeit** hinein war weitgehend unklar, was Licht tatsächlich ist. Man glaubte teilweise, dass die Helligkeit den Raum ohne Zeitverzögerung ausfüllt, und dass "Strahlen"; von den Augen ausgehen und die Umwelt beim Sehvorgang abtasten. Es gab jedoch auch __schon seit der Antike__ Vorstellungen, nach denen das Licht von der Lichtquelle __mit endlicher Geschwindigkeit__ ausgesendet wird.
{{color text="Galileo Galilei" c="blue"}} (1564 - 1642) versuchte als einer der ersten, die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts ernsthaft zu messen, jedoch ohne Erfolg. Dafür waren die ihm zur Verfügung stehenden Mittel viel zu grob. Dies gelang erst {{color text="Ole Römer" c="blue"}} anhand von Beobachtungsdaten der Jupitermonde 1676/78. Zwar betrug die Abweichung seines Messwerts vom tatsächlichen Wert (ca. 3 * ""10<sup>8</sup>"" m/s) rund 30 %, die eigentliche Leistung Römers bestand jedoch darin, nachzuweisen, dass sich das Licht mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet. Römers Messwert wurde im Laufe der folgenden 200 Jahre durch immer raffiniertere Verfahren (vor allem durch {{color text="Fizeau" c="blue"}} und {{color text="Foucault" c="blue"}}) mehr und mehr präzisiert.
{{color text="James Clerk Maxwell" c="blue"}} (1831 - 1879) erkannte selbst, dass durch die von ihm 1864 formulierten Gleichungen der Elektrodynamik elektromagnetische Wellen vorhergesagt wurden, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit übereinstimmte. Daraus schloss er, dass __das Licht selbst eine elektromagnetische Welle sei__. Er vermutete (wie damals nahezu alle Physiker), dass diese Welle ein Ausbreitungsmedium bräuchte, das die gesamte Welt ausfülle, den so genannten Äther.
Im ausgehenden 19. Jahrhundert schienen beinahe alle Fragen zum Licht geklärt. Allerdings ließ sich einerseits __der postulierte Äther im berühmt gewordenen Michelson-Morley-Experiment **nicht** nachweisen__, was letztendlich das Tor zur speziellen Relativitätstheorie aufstieß. Andererseits schien unter anderem der Fotoeffekt der Wellennatur des Lichts zu widersprechen. So entstand eine radikal neue Sichtweise des Lichts, die durch die Quantenhypothese von {{color text="Max Planck"" c="blue"}} (1858 - 1947) und {{color text="Albert Einstein" c="blue"}} (1879 - 1955) begründet wurde. Kernpunkt dieser Hypothese ist der __Welle-Teilchen-Dualismus__, der das Licht nun nicht mehr ausschließlich als Welle oder ausschließlich als Teilchen beschreibt, sondern als Quantenobjekt, das weder das eine noch das andere ist und sich unserer konkreten Anschauung entzieht.
**Daraus entstand Anfang des 20. Jahrhunderts die __Quantenphysik und später die Quantenelektrodynamik__, die bis heute unser Verständnis von der Natur des Lichts darstellt.**
[Quelle; abgewandelt, gekürzt und ergänzt aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Licht]
Nachfolgend (Abbildung 10) ist der für uns sichtbare Bereich des Lichtes dargestellt.
Die Übergange zu dem für uns nicht mehr sichtbaren Wellenlängen sind jedoch nicht klar abgegrenzt sondern muss man eher als einen allmählichen Übergang ansehen.
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg" text="Abbildung 10" alt="Abbildung 10" width="900"}}
[Abbildung 10, Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg]
- http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Gleichungen
- http://de.wikipedia.org/wiki/Licht
- Abbildung 10: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg
__Geschichte:__
**Bis weit in die Neuzeit** hinein war weitgehend unklar, was Licht tatsächlich ist. Man glaubte teilweise, dass die Helligkeit den Raum ohne Zeitverzögerung ausfüllt, und dass "Strahlen"; von den Augen ausgehen und die Umwelt beim Sehvorgang abtasten. Es gab jedoch auch __schon seit der Antike__ Vorstellungen, nach denen das Licht von der Lichtquelle __mit endlicher Geschwindigkeit__ ausgesendet wird.
{{color text="Galileo Galilei" c="blue"}} (1564 - 1642) versuchte als einer der ersten, die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts ernsthaft zu messen, jedoch ohne Erfolg. Dafür waren die ihm zur Verfügung stehenden Mittel viel zu grob. Dies gelang erst {{color text="Ole Römer" c="blue"}} anhand von Beobachtungsdaten der Jupitermonde 1676/78. Zwar betrug die Abweichung seines Messwerts vom tatsächlichen Wert (ca. 3 * ""10<sup>8</sup>"" m/s) rund 30 %, die eigentliche Leistung Römers bestand jedoch darin, nachzuweisen, dass sich das Licht mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet. Römers Messwert wurde im Laufe der folgenden 200 Jahre durch immer raffiniertere Verfahren (vor allem durch {{color text="Fizeau" c="blue"}} und {{color text="Foucault" c="blue"}}) mehr und mehr präzisiert.
{{color text="James Clerk Maxwell" c="blue"}} (1831 - 1879) erkannte selbst, dass durch die von ihm 1864 formulierten Gleichungen der Elektrodynamik elektromagnetische Wellen vorhergesagt wurden, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit übereinstimmte. Daraus schloss er, dass __das Licht selbst eine elektromagnetische Welle sei__. Er vermutete (wie damals nahezu alle Physiker), dass diese Welle ein Ausbreitungsmedium bräuchte, das die gesamte Welt ausfülle, den so genannten Äther.
Im ausgehenden 19. Jahrhundert schienen beinahe alle Fragen zum Licht geklärt. Allerdings ließ sich einerseits __der postulierte Äther im berühmt gewordenen Michelson-Morley-Experiment **nicht** nachweisen__, was letztendlich das Tor zur speziellen Relativitätstheorie aufstieß. Andererseits schien unter anderem der Fotoeffekt der Wellennatur des Lichts zu widersprechen. So entstand eine radikal neue Sichtweise des Lichts, die durch die Quantenhypothese von {{color text="Max Planck"" c="blue"}} (1858 - 1947) und {{color text="Albert Einstein" c="blue"}} (1879 - 1955) begründet wurde. Kernpunkt dieser Hypothese ist der __Welle-Teilchen-Dualismus__, der das Licht nun nicht mehr ausschließlich als Welle oder ausschließlich als Teilchen beschreibt, sondern als Quantenobjekt, das weder das eine noch das andere ist und sich unserer konkreten Anschauung entzieht.
**Daraus entstand Anfang des 20. Jahrhunderts die __Quantenphysik und später die Quantenelektrodynamik__, die bis heute unser Verständnis von der Natur des Lichts darstellt.**
[Quelle; abgewandelt, gekürzt und ergänzt aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Licht]
Nachfolgend (Abbildung 10) ist der für uns sichtbare Bereich des Lichtes dargestellt.
Die Übergange zu dem für uns nicht mehr sichtbaren Wellenlängen sind jedoch nicht klar abgegrenzt sondern muss man eher als einen allmählichen Übergang ansehen.
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg" text="Abbildung 10" alt="Abbildung 10" width="900"}}
[Abbildung 10, Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg]
- http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Gleichungen
- http://de.wikipedia.org/wiki/Licht
- Abbildung 10: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg
Deletions:
Additions:
""⇒"" ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> ⊥ <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" und ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>, <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> ⊥ <math><mover><mi>x</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" **""→"" __{{color text="Transversalwelle" c="green"}}__**
Deletions:
**""→"" {{color text="Transversalwelle" c="green"}}**
Additions:
**""→"" {{color text="Transversalwelle" c="green"}}**
Deletions:
Additions:
**""→"" {{color text="Transversalwelle" c="orange"}}**
Deletions:
Additions:
**""rarr;"" {{color text="Transversalwelle" c="orange"}}**
Additions:
- Vorlesungsmitschrift bei Prof. Dr. Udo Behn
Deletions:
Deletions:
<mover>
<mi>E</mi>
<mo mathsize="50%">→</mo>
</mover>
</math>""
Additions:
**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die {{color text="Wellenzah k" c="green"}} in der Wellengleichung:
Deletions:
Additions:
**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die {{color text="Wellenzahl k" c="green"}} in der Wellengleichung:
Deletions:
Additions:
- Die Ausbreitungsrichtung entspricht der x-Achse
- Das elektrische Feld ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der y-Achse
- und das magnetische Feld ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der z-Achse>>
- Das elektrische Feld ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der y-Achse
- und das magnetische Feld ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der z-Achse>>
Deletions:
- Das elektrische Feld´""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der y-Achse
- Das magnetische Feld ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der z-Achse>>
Additions:
__Diese Zusammenhänge sind im folgenden Graphen dargestellt:__
Deletions:
Additions:
- http://de.wikipedia.org/wiki/Interferenz
- http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Gleichungen
- http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Gleichungen
Deletions:
Additions:
Diese Zusammenhänge sind im folgenden Graphen dargestellt:
>>
- Die Ausbreitungsrichtung entspricht der x-Achse.
- Das elektrische Feld´""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der y-Achse
- Das magnetische Feld ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der z-Achse>>
{{image url="http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif" title="Abbildung 9" alt="Abbildung 9" width="550"}}
[Abbildung 9, Quelle: http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif]
- Abbildung 9: http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif
>>
- Die Ausbreitungsrichtung entspricht der x-Achse.
- Das elektrische Feld´""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der y-Achse
- Das magnetische Feld ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" der z-Achse>>
{{image url="http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif" title="Abbildung 9" alt="Abbildung 9" width="550"}}
[Abbildung 9, Quelle: http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif]
- Abbildung 9: http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif
No Differences
Additions:
**Der schottische Physiker James Clerk Maxwell** erarbeitete die nach ihm benannten Gleichungen von 1861 bis 1864. Er kombinierte dabei das Durchflutungsgesetz und das gaußsche Gesetz mit dem Induktionsgesetz.
**__Die Maxwell-Gleichungen__** sind ein spezielles System von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Gleichungen beschreiben den __Zusammenhang von elektrischen und magnetischen Feldern mit elektrischen Ladungen__ und elektrischem Strom unter gegebenen Randbedingungen.>>
""→"" Räumlich und zeitlich periodische Änderung des elektrischen Feldes ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" und des magnetischen Feldes ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>""
""→"" ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" und ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" sind über die **__Maxwellsche-Gleichung__** miteinander verknüpft.
""⇒"" Beide Größen schwingen gleichzeitig (**phasengleich**)
""⇒"" ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> ⊥ <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" und ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>, <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> ⊥ <math><mover><mi>x</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>""
**__Die Maxwell-Gleichungen__** sind ein spezielles System von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Gleichungen beschreiben den __Zusammenhang von elektrischen und magnetischen Feldern mit elektrischen Ladungen__ und elektrischem Strom unter gegebenen Randbedingungen.>>
""→"" Räumlich und zeitlich periodische Änderung des elektrischen Feldes ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" und des magnetischen Feldes ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>""
""→"" ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" und ""<math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" sind über die **__Maxwellsche-Gleichung__** miteinander verknüpft.
""⇒"" Beide Größen schwingen gleichzeitig (**phasengleich**)
""⇒"" ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> ⊥ <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>"" und ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>, <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> ⊥ <math><mover><mi>x</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>""
Deletions:
Additions:
""<math>
<mover>
<mi>E</mi>
<mo mathsize="50%">→</mo>
</mover>
</math>""
""→"" Räumlich und zeitlich periodische Änderung des elektrischen Feldes ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>""
<mover>
<mi>E</mi>
<mo mathsize="50%">→</mo>
</mover>
</math>""
""→"" Räumlich und zeitlich periodische Änderung des elektrischen Feldes ""<math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>""
Deletions:
""→"" Räumlich und zeitlich periodische Änderung des elektrischen Feldes ""<math><mo mathsize="100%">E→</mo></math>""
Additions:
""<math><mo mathsize="100%">X→</mo></math>""
__Eine elektromagnetische Welle ist eine Welle aus **gekoppelten elektrischen** und **magnetischen Feldern**.__
Das alltägliche, vertrauteste Beispiel einer elektromagnetischen Welle ist __sichtbares Licht__. Ebenfalls eine natürliche, alltägliche Erscheinung elektromagnetischer Wellen ist die unsichtbare Wärmestrahlung, das so genannte »Infrarot«, sowie das ebenfalls unsichtbare Ultraviolett. Diese natürlich entstehenden Formen elektromagnetischer Wellen können für spezielle Zwecke auch künstlich erzeugt und technisch genutzt werden.
**__Elektromagnetische Wellen sind also:__**
""→"" Räumlich und zeitlich periodische Änderung des elektrischen Feldes ""<math><mo mathsize="100%">E→</mo></math>""
__Eine elektromagnetische Welle ist eine Welle aus **gekoppelten elektrischen** und **magnetischen Feldern**.__
Das alltägliche, vertrauteste Beispiel einer elektromagnetischen Welle ist __sichtbares Licht__. Ebenfalls eine natürliche, alltägliche Erscheinung elektromagnetischer Wellen ist die unsichtbare Wärmestrahlung, das so genannte »Infrarot«, sowie das ebenfalls unsichtbare Ultraviolett. Diese natürlich entstehenden Formen elektromagnetischer Wellen können für spezielle Zwecke auch künstlich erzeugt und technisch genutzt werden.
**__Elektromagnetische Wellen sind also:__**
""→"" Räumlich und zeitlich periodische Änderung des elektrischen Feldes ""<math><mo mathsize="100%">E→</mo></math>""
Additions:
dass aus ""A<sub>eff</sub>"" = 2""u<sub>0</sub>"" folgt:
Deletions:
Additions:
Diese Addition der Amplituden der einzelnen Wellen nennt man Superposition. >>
Deletions:
>>
Additions:
[Abbildung 6]::c::
Deletions:
No Differences
Additions:
- http://de.wikipedia.org/wiki/Interferenz
Deletions:
No Differences
Additions:
@@==2. Elektromagnetische Wellen==@@
===__Elektromagnetische Wellen:__===
===__Elektromagnetische Wellen:__===
Additions:
{{image url="InterferenzKonstruktiv.gif" title="Abbildung 8" alt="Abbildung 8" width="450"}}
[Abbildung 8]
[Abbildung 8]
Deletions:
[Abbildung 8}
Additions:
{{image url="InterferenzKonstruktiv.gif" title="Abbildung 8" alt="Abbildung 8" width = "400"}}
Deletions:
{{files}}
Additions:
**""⇒"" für die Phasendifferenz ""Δ φ"" = 0 **, und dementsprechend auch alle anderen **__geradzahligen Vielfachen__** von ""π"": **""±""2""π"", ""±""4""π"", ""±""6""π"",...**
Deletions:
Additions:
Damit eine __destruktive Interferenz__ eintreten kann, muss die Effektive Amplitude der beiden Wellen ""A<sub>eff</sub>"" = 0 sein (siehe Abbildung 7).
**""⇒"" für die Phasendifferenz ""Δ φ"" = ""π""**, und dementsprechend auch alle anderen **__ungeradzahligen Vielfachen__** von ""π"": **""±""3""π"", ""±""5""π"", ""±""7""π"",...**
-**__Grenzfall 2: Konstruktive Interferenz (Verstärkung):__**
Damit eine __konstruktive Interferenz__ eintreten kann, muss die Effiktive Amplitude der beiden Wellen ""A<sub>eff</sub>"" = 2""u<sub>0</sub>"" sein (siehe Abbildung 8).
Auch hier betrachten wir die allgemeine Wellengleichung zwei interferierender Wellen, gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung und stellen fest,
dass mit ""A<sub>eff</sub>"" = 2""u<sub>0</sub>""
""→"" cos (""Δφ""/2) = 1 ""→"" ""Δφ""/2 = 0
**""⇒"" für die Phasendifferenz ""Δ φ"" = 0 **, und dementsprechend auch alle anderen **__geradzahligen Vielfachen__** von ""π"": **""±""2""π"", **""±""4""π"", **""±""6""π"",...**
{{image url="InterferenzKonstruktiv.gif" title="Abbildung 8" alt="Abbildung 8" width = "450"}}
[Abbildung 8}
**""⇒"" für die Phasendifferenz ""Δ φ"" = ""π""**, und dementsprechend auch alle anderen **__ungeradzahligen Vielfachen__** von ""π"": **""±""3""π"", ""±""5""π"", ""±""7""π"",...**
-**__Grenzfall 2: Konstruktive Interferenz (Verstärkung):__**
Damit eine __konstruktive Interferenz__ eintreten kann, muss die Effiktive Amplitude der beiden Wellen ""A<sub>eff</sub>"" = 2""u<sub>0</sub>"" sein (siehe Abbildung 8).
Auch hier betrachten wir die allgemeine Wellengleichung zwei interferierender Wellen, gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung und stellen fest,
dass mit ""A<sub>eff</sub>"" = 2""u<sub>0</sub>""
""→"" cos (""Δφ""/2) = 1 ""→"" ""Δφ""/2 = 0
**""⇒"" für die Phasendifferenz ""Δ φ"" = 0 **, und dementsprechend auch alle anderen **__geradzahligen Vielfachen__** von ""π"": **""±""2""π"", **""±""4""π"", **""±""6""π"",...**
{{image url="InterferenzKonstruktiv.gif" title="Abbildung 8" alt="Abbildung 8" width = "450"}}
[Abbildung 8}
Deletions:
**""⇒"" für die Phasendifferenz ""Δ φ"" = ""π""**, und dementsprechend auch alle anderen ungeradzahligen Vielfachen von ""π"": **""±""3""π"", ""±""5""π"", ""±""7""π"",...**
No Differences
Additions:
__Ist dies der Fall, entsteht durch die Wellen {{color text="u1" c="green"}} und {{color text="u2" c="blue"}} folgende Welle {{color text="u12" c="red"}}:__
{{image url="InterferenzDestruktiv.gif" title="Abbildung 7" alt="Abbildung 7" width="450"}}
[Abbildung 7]
{{image url="InterferenzDestruktiv.gif" title="Abbildung 7" alt="Abbildung 7" width="450"}}
[Abbildung 7]
Deletions:
Additions:
""→"" Dadurch entsteht eine neue Wellengleichung für diese beiden interferierenden Wellen: u(x,t) = 2*""u<sub>0</sub>""*cos (""Δφ""/2)*sin (""ω""*t - k*x + ""φ"")
Die effiktive Amplitude **""A<sub>eff</sub>"" = 2*""u<sub>0</sub>""*cos (""Δφ""/2)** bewegt sich hier also im Bereich von **0....2""u<sub>0</sub>""**!
Je nach Konstellation verhalten sich die beiden aufeinander treffenden Wellen, und die dadruch entstehende Welle, anders.
Dementsprechend können nun verschiedene Fälle je nach Wellenabschnitt eintreten:
Die Wellen können sich gegenseitig:
- verstärken,
- abschwächen
- oder sogar auslöschen.
-**__Grenzfall 1: Destruktive Interferenz (Auslöschung):__**
Damit eine destruktive Interferenz eintreten kann muss die Effektive Amplitude der beiden Wellen ""A<sub>eff</sub>"" = 0 sein (siehe Abbildung 7).
Wenn wir uns die allgemeine Wellengleichung für zwei interferierende Wellen, gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung ansehen
u(x,t) = 2*""u<sub>0</sub>""*cos (""Δφ""/2)*sin (""ω""*t - k*x + ""φ"") bedeutet das:
""→"" cos (""Δφ""/2) = 0 ""→"" ""Δφ""/2 = (""π""/2)
**""⇒"" für die Phasendifferenz ""Δ φ"" = ""π""**, und dementsprechend auch alle anderen ungeradzahligen Vielfachen von ""π"": **""±""3""π"", ""±""5""π"", ""±""7""π"",...**
__Ist dies der Fall entsteht folgende Welle {{color text="u12"}}:__
{{files}}
Die effiktive Amplitude **""A<sub>eff</sub>"" = 2*""u<sub>0</sub>""*cos (""Δφ""/2)** bewegt sich hier also im Bereich von **0....2""u<sub>0</sub>""**!
Je nach Konstellation verhalten sich die beiden aufeinander treffenden Wellen, und die dadruch entstehende Welle, anders.
Dementsprechend können nun verschiedene Fälle je nach Wellenabschnitt eintreten:
Die Wellen können sich gegenseitig:
- verstärken,
- abschwächen
- oder sogar auslöschen.
-**__Grenzfall 1: Destruktive Interferenz (Auslöschung):__**
Damit eine destruktive Interferenz eintreten kann muss die Effektive Amplitude der beiden Wellen ""A<sub>eff</sub>"" = 0 sein (siehe Abbildung 7).
Wenn wir uns die allgemeine Wellengleichung für zwei interferierende Wellen, gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung ansehen
u(x,t) = 2*""u<sub>0</sub>""*cos (""Δφ""/2)*sin (""ω""*t - k*x + ""φ"") bedeutet das:
""→"" cos (""Δφ""/2) = 0 ""→"" ""Δφ""/2 = (""π""/2)
**""⇒"" für die Phasendifferenz ""Δ φ"" = ""π""**, und dementsprechend auch alle anderen ungeradzahligen Vielfachen von ""π"": **""±""3""π"", ""±""5""π"", ""±""7""π"",...**
__Ist dies der Fall entsteht folgende Welle {{color text="u12"}}:__
{{files}}
Deletions:
-**__Grenzfall 1: Destruktive Interferenz:__**
Additions:
[Abbildung 4]
- Abbildung 5: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif
- Abbildung 5: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif
Deletions:
- Abbildung 4: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif
Additions:
{{image url="http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png" text="Abbildung 3" alt="Abbildung 3" width="500"}}
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet.
[Abbildung 4]]
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 5" alt="Abbildung 5" width="330"}}
[Abbildung 5, "stehende Welle"; Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif]
[Abbildung 6]
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet.
[Abbildung 4]]
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 5" alt="Abbildung 5" width="330"}}
[Abbildung 5, "stehende Welle"; Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif]
[Abbildung 6]
Deletions:
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet. Diese
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4" width="330"}}
[Abbildung 4, "stehende Welle"; Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif]
[Abbildung 5]
Additions:
@@==1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:==@@
@@==1.2 Interferenz==@@
- feste Phasenbeziehung ""Δφ"" = const.
""⇒"" ""Δ ω"" = 0, ""Δ ""k = 0
**__Anwendung der Superposition:__**
{{image url="Interferenz1.gif" title="Abbildung 5" alt="Abbildung 5" width="450"}}>> **In der Abbildung 5** interferieren zwei eindimensionale Wellen **{{color text="u1" c="green"}}** und **{{color text="u2" c="blue"}}** mit den links beschriebenen Eigenschaften.
Hierbei werden an verschiedenen beliebigen Punkten der x-Achse die __**beiden Amplituden der Wellen** **{{color text="mit Vorzeichen" c="red"}}**__ addiert. Verbindet man diese Punkte miteinander entsteht dadurch eine neue Welle: in unserem Beispiel ist dies die Welle {{color text="u12" c="red"}}.
Diese Addition der Amplituden der einzelnen Wellen nennt man Superposition.
>>
[Abbildung 5]
**Bei der Überlagerung von Wellen** können natürlich fast unendliche viele Möglichkeiten entstehen; nämlich je nachdem wie die Wellen aufeinander treffen, welche Frequenz sie haben ob die Phasendifferenz variiert usw.
Je nach Konstellation verhalten sich die beiden aufeinander treffenden Wellen, und die dadruch entstehende Welle, anders. Dementsprechen dkönnen nun verschiedene Fälle, je nach Wellenabschnitt, eintreten: Die Wellen können sich nämlich gegenseitig verstärken, abschwächen oder sogar auslöschen.
Dabei treten zwei bemerkenswerte Grenzfälle auf:
-**__Grenzfall 1: Destruktive Interferenz:__**
@@==1.2 Interferenz==@@
- feste Phasenbeziehung ""Δφ"" = const.
""⇒"" ""Δ ω"" = 0, ""Δ ""k = 0
**__Anwendung der Superposition:__**
{{image url="Interferenz1.gif" title="Abbildung 5" alt="Abbildung 5" width="450"}}>> **In der Abbildung 5** interferieren zwei eindimensionale Wellen **{{color text="u1" c="green"}}** und **{{color text="u2" c="blue"}}** mit den links beschriebenen Eigenschaften.
Hierbei werden an verschiedenen beliebigen Punkten der x-Achse die __**beiden Amplituden der Wellen** **{{color text="mit Vorzeichen" c="red"}}**__ addiert. Verbindet man diese Punkte miteinander entsteht dadurch eine neue Welle: in unserem Beispiel ist dies die Welle {{color text="u12" c="red"}}.
Diese Addition der Amplituden der einzelnen Wellen nennt man Superposition.
>>
[Abbildung 5]
**Bei der Überlagerung von Wellen** können natürlich fast unendliche viele Möglichkeiten entstehen; nämlich je nachdem wie die Wellen aufeinander treffen, welche Frequenz sie haben ob die Phasendifferenz variiert usw.
Je nach Konstellation verhalten sich die beiden aufeinander treffenden Wellen, und die dadruch entstehende Welle, anders. Dementsprechen dkönnen nun verschiedene Fälle, je nach Wellenabschnitt, eintreten: Die Wellen können sich nämlich gegenseitig verstärken, abschwächen oder sogar auslöschen.
Dabei treten zwei bemerkenswerte Grenzfälle auf:
-**__Grenzfall 1: Destruktive Interferenz:__**
Deletions:
==1.2 Interferenz==
- feste Phasenbeziehung ""Δ&phi"" = const.
""⇒"" ""Δω"" = 0, ""Δ""k = 0
>> In der Abbildung 5 interferieren zwei eindimensionale Wellen {{color text="u1" c="green"}} und {{colot text="u2" c="blue"}} mit den links beschriebenen Eigenschaften.
Durch diese Überlagerung ensteht durch Verwendung des Superpostionsprinzipes eine neue Welle: die Welle {{color text="u12" c="red"}}.>>
{{image url="Interferenz1.gif" title="Abbildung 5" alt="Abbildung 5" width="400"}}
[[Abbildung 5]
Additions:
===__Konstruktive und Destruktive Interferenz:__===
>> In der Abbildung 5 interferieren zwei eindimensionale Wellen {{color text="u1" c="green"}} und {{colot text="u2" c="blue"}} mit den links beschriebenen Eigenschaften.
Durch diese Überlagerung ensteht durch Verwendung des Superpostionsprinzipes eine neue Welle: die Welle {{color text="u12" c="red"}}.>>
{{image url="Interferenz1.gif" title="Abbildung 5" alt="Abbildung 5" width="400"}}
[[Abbildung 5]
>> In der Abbildung 5 interferieren zwei eindimensionale Wellen {{color text="u1" c="green"}} und {{colot text="u2" c="blue"}} mit den links beschriebenen Eigenschaften.
Durch diese Überlagerung ensteht durch Verwendung des Superpostionsprinzipes eine neue Welle: die Welle {{color text="u12" c="red"}}.>>
{{image url="Interferenz1.gif" title="Abbildung 5" alt="Abbildung 5" width="400"}}
[[Abbildung 5]
Deletions:
Additions:
----
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4" width="330"}}
**__Beispiel 3:__** __Anwendung des Superpositionsprinzipes:__
{{files}}
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4" width="330"}}
**__Beispiel 3:__** __Anwendung des Superpositionsprinzipes:__
{{files}}
Deletions:
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4"}}
**__Beispiel 3:__**
__Anwendung des Superpositionsprinzipes__
Additions:
**Von Interferenz** spricht man, wenn zwei oder mehr Wellen aufeinenander treffen, sich durchdringen und interferieren, also sich überlagern (siehe Abbildung 4). Diese Überlagerung kann man durch das sogenannte **__Superpositionsprinzip__** beschreiben.
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4"}}
{{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4"}}
Deletions:
{{image ="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4"}}
Additions:
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="- sin" c="green"}} ((""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(- k)" c="green"}} * {{color text="(- k)" c="green"}}
==1.2 Interferenz==
__**Superposition**__ bedeutet in der Wellenlehre die ungestörte Überlagerung (Interferenz) mehrerer Wellen des gleichen Typs.
Die relevante Größe der Überlagerung ist die Amplitude u (Höhe) der einzelnen Wellen. So können sich beispielsweise mehrere Wasserwellen oder mehrere elektromagnetische Wellen gegenseitig überlagern.>>
**Von Interferenz** spricht man, wenn zwei oder mehr Wellen aufeinenander treffen, sich durchdringen und interferieren, also sich überlagern (siehe Abbildung 4). Diese Überlagerung kann man durch das sogenannte __Superpositionsprinzip__ beschreiben.
{{image ="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4"}}
[Abbildung 4, "stehende Welle"; Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif]
**__Beispiel 3:__**
__Anwendung des Superpositionsprinzipes__
Überlagerung von zwei 1-dimensionalen Wellen mit folgenden Eigenschaften:
- gleiche Amplitude u
- gleiche Frequenz ""f<sub>1</sub> = f<sub>2</sub>""
- gleiche Wellenlänge und Wellenzahl, also ""ω<sub>1</sub> = ω<sub>2</sub>"" und ""k<sub>1</sub> = k<sub>2</sub>""
- feste Phasenbeziehung ""Δ&phi"" = const.
""⇒"" ""Δω"" = 0, ""Δ""k = 0
- Vorlesungsmitschrift von Prof. Dr. Udo Behn
- http://de.wikipedia.org/wiki/Interferenz_(Physik)
- Abbildung 4: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif
==1.2 Interferenz==
__**Superposition**__ bedeutet in der Wellenlehre die ungestörte Überlagerung (Interferenz) mehrerer Wellen des gleichen Typs.
Die relevante Größe der Überlagerung ist die Amplitude u (Höhe) der einzelnen Wellen. So können sich beispielsweise mehrere Wasserwellen oder mehrere elektromagnetische Wellen gegenseitig überlagern.>>
**Von Interferenz** spricht man, wenn zwei oder mehr Wellen aufeinenander treffen, sich durchdringen und interferieren, also sich überlagern (siehe Abbildung 4). Diese Überlagerung kann man durch das sogenannte __Superpositionsprinzip__ beschreiben.
{{image ="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 4" alt="Abbildung 4"}}
[Abbildung 4, "stehende Welle"; Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif]
**__Beispiel 3:__**
__Anwendung des Superpositionsprinzipes__
Überlagerung von zwei 1-dimensionalen Wellen mit folgenden Eigenschaften:
- gleiche Amplitude u
- gleiche Frequenz ""f<sub>1</sub> = f<sub>2</sub>""
- gleiche Wellenlänge und Wellenzahl, also ""ω<sub>1</sub> = ω<sub>2</sub>"" und ""k<sub>1</sub> = k<sub>2</sub>""
- feste Phasenbeziehung ""Δ&phi"" = const.
""⇒"" ""Δω"" = 0, ""Δ""k = 0
- Vorlesungsmitschrift von Prof. Dr. Udo Behn
- http://de.wikipedia.org/wiki/Interferenz_(Physik)
- Abbildung 4: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif
Deletions:
==1.2 Phasengeschwindigkeiten==
===Sailwellen:===
- Vorlesungsmitschrift von Prof. Dr. Udo Behn
Additions:
>>Hier verläuft die Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (Abbildung 1a)
>>Hier verläuft die Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Flüssigkeiten, in manchen Fällen auch in Festkörpern)>>
>>Hier verläuft die Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Flüssigkeiten, in manchen Fällen auch in Festkörpern)>>
Deletions:
>>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)>>
Additions:
**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die {{color text="Wellenzah k" c="green"}} in der Wellengleichung:
Deletions:
Additions:
**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die {{color text="Wellenzah kl" c="green"}} in der Wellengleichung:
Deletions:
Additions:
**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die {{color text="Wellenzahl" c="green"}} in der Wellengleichung:
**u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t {{color text="- k" c="green"}}*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
**u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t {{color text="- k" c="green"}}*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
Deletions:
**u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
Additions:
-**__1. Umstellen:__**
-**__2. Gleichsetzen:__**
-**__2. Gleichsetzen:__**
Deletions:
- **__2. Gleichsetzen:__**
No Differences
Additions:
Als letzten Schritt verbinden wir die beiden __partiellen Ableitungen__ **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>""** und **""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""** in dem wir sie:
Deletions:
Additions:
- **__1. Umstellen:__**
- **__2. Gleichsetzen:__**
- **__2. Gleichsetzen:__**
Deletions:
- **__2. Gleichsetzen__**
Additions:
- **__1. Umstellen__**
- **__2. Gleichsetzen__**
- **__2. Gleichsetzen__**
Deletions:
- **__2. Gleichsetzen__**
Additions:
**""⇒""** Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: __**""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ( 1 / ""c<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""**__
Deletions:
||
Additions:
||**""⇒""** Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ( 1 / ""c<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""**
Deletions:
Additions:
**""⇒""** Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ( 1 / ""c<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""**
||
||
Deletions:
Additions:
Als nächstes leiten wir die allgemeine Wellengleichung u(x,{{color text="t" c="red"}}) nach der {{color text="Zeit t" c="red"}} partiell ab, also: **""∂""u/""∂""t.**
mit **k = ""ω""/c** erhalten wir:
**""⇒""** Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ( 1 / ""c<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""**
===Sailwellen:===
mit **k = ""ω""/c** erhalten wir:
**""⇒""** Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ( 1 / ""c<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""**
===Sailwellen:===
Deletions:
mit **k = ""ω"" / c** erhalten wir:
""⇒"" Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ( 1 / ""c<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""**
Additions:
Die zweite Ableitung **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>""** lautet dann:
Die zweite Ableitung **""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""** lautet dann:
Als letzten Schritt "verbinden" wir die beiden __partiellen Ableitungen__ **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>""** und **""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""** in dem wir sie:
- **__1. Umstellen__**
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ""- k<sup>2</sup>""*""u<sub>0</sub>"" *sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") ""⇒"" __""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = 1 / ""k<sup>2</sup>""__
""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = - ""ω<sup>2</sup>"" ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") ""⇒"" __""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = 1 / ""ω<sup>2</sup>""__
- **__2. Gleichsetzen__**
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = 1 / ""k<sup>2</sup>"" = ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = 1 / ""ω<sup>2</sup>""
""→"" ""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = (""k<sup>2</sup>"" / ""ω<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""
mit **k = ""ω"" / c** erhalten wir:
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = (""ω<sup>2</sup>"" / ""c<sup>2</sup>""*""ω<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""
""⇒"" Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ( 1 / ""c<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""**
==1.2 Phasengeschwindigkeiten==
Die zweite Ableitung **""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""** lautet dann:
Als letzten Schritt "verbinden" wir die beiden __partiellen Ableitungen__ **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>""** und **""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""** in dem wir sie:
- **__1. Umstellen__**
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ""- k<sup>2</sup>""*""u<sub>0</sub>"" *sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") ""⇒"" __""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = 1 / ""k<sup>2</sup>""__
""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = - ""ω<sup>2</sup>"" ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") ""⇒"" __""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = 1 / ""ω<sup>2</sup>""__
- **__2. Gleichsetzen__**
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = 1 / ""k<sup>2</sup>"" = ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = 1 / ""ω<sup>2</sup>""
""→"" ""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = (""k<sup>2</sup>"" / ""ω<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""
mit **k = ""ω"" / c** erhalten wir:
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = (""ω<sup>2</sup>"" / ""c<sup>2</sup>""*""ω<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""
""⇒"" Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ( 1 / ""c<sup>2</sup>"") * ""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""**
==1.2 Phasengeschwindigkeiten==
Deletions:
Die zweite Ableitung **""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""** ist dann:
Additions:
__===Es gibt **zwei** Möglichkeiten eindimensionaler Wellen sich auszubreiten:===__
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} (""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(- k)" c="green"}}
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = {{color text="(" c="green"}} ""u<sub>0</sub>""{{color text=")" c="green"}}*{{color text="- sin" c="green"}} ((""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(- k)" c="green"}} * {{color text="(- k)" c="green"}}
""→"" __""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ""- k<sup>2</sup>""*""u<sub>0</sub>"" *sin (""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"")__
Als nächstes leitet wir die allgemeine Wellengleichung u(x,{{color text="t" c="red"}}) nach der {{color text="Zeit t" c="red"}} partiell ab, also: **""∂""u/""∂""t.**
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} (""ω""*{{color text="t" c="red"}} - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(" c="green"}}""ω""{{color text=")" c="green"}}
Die zweite Ableitung **""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""** ist dann:
""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="- sin" c="green"}} (""ω""*{{color text="t" c="red"}} - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(" c="green"}}""ω""{{color text=")" c="green"}} * {{color text="(" c="green"}}""ω""{{color text=")" c="green"}}
""→"" __""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = - ""ω<sup>2</sup>"" ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*{{color text="t" c="red"}} - k*x + ""φ<sub>0</sub>"")__
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} (""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(- k)" c="green"}}
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = {{color text="(" c="green"}} ""u<sub>0</sub>""{{color text=")" c="green"}}*{{color text="- sin" c="green"}} ((""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(- k)" c="green"}} * {{color text="(- k)" c="green"}}
""→"" __""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = ""- k<sup>2</sup>""*""u<sub>0</sub>"" *sin (""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"")__
Als nächstes leitet wir die allgemeine Wellengleichung u(x,{{color text="t" c="red"}}) nach der {{color text="Zeit t" c="red"}} partiell ab, also: **""∂""u/""∂""t.**
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} (""ω""*{{color text="t" c="red"}} - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(" c="green"}}""ω""{{color text=")" c="green"}}
Die zweite Ableitung **""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>""** ist dann:
""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="- sin" c="green"}} (""ω""*{{color text="t" c="red"}} - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") * {{color text="(" c="green"}}""ω""{{color text=")" c="green"}} * {{color text="(" c="green"}}""ω""{{color text=")" c="green"}}
""→"" __""∂<sup>2</sup>u""/""∂t<sup>2</sup>"" = - ""ω<sup>2</sup>"" ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*{{color text="t" c="red"}} - k*x + ""φ<sub>0</sub>"")__
Deletions:
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} (""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- k" c="green"}})
""→"" ""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = {{color text="-" c="green"}} ""u<sub>0</sub>""*{{color text="sin" c="green"}} ((""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- k" c="green"}}) * ({{color text="- k" c="green"}})
No Differences
Additions:
Vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>""), sehen wir:
Deletions:
Additions:
""→"" ""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = {{color text="-" c="green"}} ""u<sub>0</sub>""*{{color text="sin" c="green"}} ((""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- k" c="green"}}) * ({{color text="- k" c="green"}})
Deletions:
Additions:
||**Defintion Welle:** Eine Welle ist eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes||
>>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}}
**__{{color text="Merke:" c="red"}}__** Eine Welle ist eine räumliche und zeitliche Änderung einer physikalischen Größe>>
daraus folgt für die __allgemeine Wellengleichung__ in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}}
**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die Wellenzahl in der Wellengleichung:
>>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}}
**__{{color text="Merke:" c="red"}}__** Eine Welle ist eine räumliche und zeitliche Änderung einer physikalischen Größe>>
daraus folgt für die __allgemeine Wellengleichung__ in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}}
**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die Wellenzahl in der Wellengleichung:
Deletions:
{{color text="Merke:" c="red"}} Eine Welle ist eine zeitliche und räumliche Änderung einer physikalischen Größe
daraus folgt für die __allgemeine Wellengleichung__ in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die Wellenzahl in der Wellengleichung:
Additions:
>>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}}
**__Kleiner Ableitungshelfer:__**
- Abbildung "Aufgepasst-Smiley": http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif
**__Kleiner Ableitungshelfer:__**
- Abbildung "Aufgepasst-Smiley": http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif
Deletions:
- Abbildung "Kleiner Ableitungshelfer": http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif
Additions:
>>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Kleiner Ableitungshelfer" alt="Kleiner Ableitungsfehler" width="60"}} **__Kleiner Ableitungshelfer:__**
Deletions:
Additions:
>>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Kleiner Ableitungshelfer" alt="Kleiner Ableitungsfehler" width="30"}} **__Kleiner Ableitungshelfer:__**
- Abbildung "Kleiner Ableitungshelfer": http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif
- Abbildung "Kleiner Ableitungshelfer": http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif
Deletions:
Additions:
In dieser Aufnahme können wir nun die Amplitude und Wellenlänge ""λ"" sehr einfach einzeichnen und ablesen:
Deletions:
Additions:
===__Die Amplitude u und die Wellenlänge ""λ"":__===
===__Wellenfront, Phase und das Huygensche Prinzip:__===
Die zweite Ableitung **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>""** ist dann:
===__Wellenfront, Phase und das Huygensche Prinzip:__===
Die zweite Ableitung **""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>""** ist dann:
Deletions:
===Wellenfront, Phase und das Huygensche Prinzip:===
Die zweite Ableitung ""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" ist dann:
Additions:
>>**__Kleiner Ableitungshelfer:__**
__Die Variable__ nach der abgeleitet wird ist in {{color text="rot" c="red"}} und
alle Werte die sich durch die jeweilige __Ableitung geändert__ haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
__Die Variable__ nach der abgeleitet wird ist in {{color text="rot" c="red"}} und
alle Werte die sich durch die jeweilige __Ableitung geändert__ haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
Deletions:
alle Werte die sich durch die jeweilige __**Ableitung geändert**__ haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
Additions:
>>__**Die Variable**__ nach der abgeleitet wird ist in {{color text="rot" c="red"}} und
alle Werte die sich durch die jeweilige __**Ableitung geändert**__ haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
alle Werte die sich durch die jeweilige __**Ableitung geändert**__ haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
Deletions:
alle Werte die sich durch die jeweilige **Ableitung geändert** haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
Additions:
alle Werte die sich durch die jeweilige **Ableitung geändert** haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
Deletions:
Additions:
>>**Die Variable** nach der abgelitten wird ist in {{color text="rot" c="red"}} und
**alle Werte** die sich durch die jeweilige Ableitung geändert haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
**alle Werte** die sich durch die jeweilige Ableitung geändert haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
Deletions:
Additions:
Die zweite Ableitung ""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" ist dann:
Deletions:
Additions:
>>**Alle Werte** die sich durch die jeweilige Ableitung geändert haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} (""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- k" c="green"}})
Die zweite Ableitung ""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" nach {{color text="x" c="red"}} ist dann:
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = {{color text="-" c="green"}} ""u<sub>0</sub>""*{{color text="sin" c="green"}} ((""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- k" c="green"}}) * ({{color text="- k" c="green"}})
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} (""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- k" c="green"}})
Die zweite Ableitung ""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" nach {{color text="x" c="red"}} ist dann:
""∂<sup>2</sup>u""/""∂x<sup>2</sup>"" = {{color text="-" c="green"}} ""u<sub>0</sub>""*{{color text="sin" c="green"}} ((""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- k" c="green"}}) * ({{color text="- k" c="green"}})
Deletions:
Additions:
**Auch in unserem Alltag** sind wir praktisch zu jeder Zeit von Wellen umgeben; sei es das Licht, der Schall oder auch beispielsweise Mikrowellen. Diese breiten sich -wie bereits oben beschrieben- auf zwei Arten aus. Doch nicht nur das Verhältnis von Ausbreitungsrichtung zur Schwingungsrichtung bestimmt eine Welle.
- ""ω"" = Kreisfrequenz
- k = Wellenzahl
- ""φ"" = Anfangsphase
""→"" u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"")
Nun leiten wir diese allgemeine Wellengleichung u({{color text="x" c="red"}},t) nach dem {{color text="Ort x" c="red"}} partiell ab, was mathematisch korrekt in dieser Weise dargestellt wird: **""∂""u/""∂""x.**
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} ( ""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- x" c="green"}})>>**Alle Werte** die sich durch die jeweilige Ableitung geändert haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
- ""ω"" = Kreisfrequenz
- k = Wellenzahl
- ""φ"" = Anfangsphase
""→"" u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"")
Nun leiten wir diese allgemeine Wellengleichung u({{color text="x" c="red"}},t) nach dem {{color text="Ort x" c="red"}} partiell ab, was mathematisch korrekt in dieser Weise dargestellt wird: **""∂""u/""∂""x.**
""→"" ""∂""u/""∂""x = ""u<sub>0</sub>""*{{color text="cos" c="green"}} ( ""ω""*t - k*{{color text="x" c="red"}} + ""φ<sub>0</sub>"") * ({{color text="- x" c="green"}})>>**Alle Werte** die sich durch die jeweilige Ableitung geändert haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>>
Deletions:
No Differences
Additions:
>>Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (Abbildung 1a)
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif" title="Abbildung 1a)" alt="Abbildung 1a)" width="400"}}
[Abbildung 1a; Quelle: http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif]
>>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif" title="Abbildung 1b)" alt="Abbildung 1b)" width="400"}}
[Abbildung 1b; Quelle: http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif]
===Wellenfront, Phase und das Huygensche Prinzip:===
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif" title="Abbildung 1a)" alt="Abbildung 1a)" width="400"}}
[Abbildung 1a; Quelle: http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif]
>>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif" title="Abbildung 1b)" alt="Abbildung 1b)" width="400"}}
[Abbildung 1b; Quelle: http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif]
===Wellenfront, Phase und das Huygensche Prinzip:===
Deletions:
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif" title="Abbildung 1b)" alt="Abbildung 1b)" width="400"}}[Abbildung 1b]>>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
Additions:
===Die Amplitude u und die Wellenlänge ""λ"":===
Deletions:
Additions:
{{color text="Merke:" c="red"}} Eine Welle ist eine zeitliche und räumliche Änderung einer physikalischen Größe
===Amplitude u und die Wellenlänge ""λ"":===
Macht man eine Momentaufnahme einer Welle, zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 0, lässt sich die Welle wie in der Abbildung 2 darstellen.
{{image url="http://www.sengpielaudio.com/WellenSinusZeitAbstandTime.gif" text="Abbildung 2" alt="Abbildung 2" width="400"}}
- Abbildung 1a): http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif
- Abbildung 1b): http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif
===Amplitude u und die Wellenlänge ""λ"":===
Macht man eine Momentaufnahme einer Welle, zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 0, lässt sich die Welle wie in der Abbildung 2 darstellen.
{{image url="http://www.sengpielaudio.com/WellenSinusZeitAbstandTime.gif" text="Abbildung 2" alt="Abbildung 2" width="400"}}
- Abbildung 1a): http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif
- Abbildung 1b): http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif
Deletions:
Macht man eine Momentaufnahme einer Welle, zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 0, lässt sich die Welle z. B. wie folgt darstellen.
{{image url="http://www.sengpielaudio.com/WellenSinusZeitAbstandTime.gif" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="400"}}
- Abbildung 1: - a)
- b)
Additions:
__Es gibt **zwei** Möglichkeiten Eindimensionaler Wellen sich auszubreiten:__
- **__1. Transversalwelle:__**
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif" title="Abbildung 1a)" alt="Abbildung 1a)" width="400"}}[Abbildung 1a]>>Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (Abbildung 1a)
-** __2. Longitudinalwelle:__**
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif" title="Abbildung 1b)" alt="Abbildung 1b)" width="400"}}[Abbildung 1b]>>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)>>
Macht man eine Momentaufnahme einer Welle, zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 0, lässt sich die Welle z. B. wie folgt darstellen.
In dieser Aufnahme können wir die Aufnahme die Amplitude und Wellenlänge einzeichnen.
>>Die y-Achse stellt die Elongation (Auslenkung) zu einer bestimmten Zeit und Strecke dar und wird nachfolgend mit u bezeichnet.>>
- **__1. Transversalwelle:__**
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif" title="Abbildung 1a)" alt="Abbildung 1a)" width="400"}}[Abbildung 1a]>>Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (Abbildung 1a)
-** __2. Longitudinalwelle:__**
{{image url="http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif" title="Abbildung 1b)" alt="Abbildung 1b)" width="400"}}[Abbildung 1b]>>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)>>
Macht man eine Momentaufnahme einer Welle, zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 0, lässt sich die Welle z. B. wie folgt darstellen.
In dieser Aufnahme können wir die Aufnahme die Amplitude und Wellenlänge einzeichnen.
>>Die y-Achse stellt die Elongation (Auslenkung) zu einer bestimmten Zeit und Strecke dar und wird nachfolgend mit u bezeichnet.>>
Deletions:
- __1. Transversalwelle:__
{{image url="http://www.bph.hbt.arch.ethz.ch/Filep/Bilder/kennwerte_schall/Transversal.gif" title="Abbildung 1a)" alt="Abbildung 1a)" width="400"}}[Abbildung 1a]>>Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (Abbildung 1a)
- __2. Longitudinalwelle:__
{{image url="url" title="text" alt="text"}} >>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)>>
::c::
Zum Zeitpunkt t=0 stellen sich folgende Wellen ein:
>>Die y-Achse stellt die Elongation (Auslenkung) zu einer bestimmten Zeit oder einer Strecke dar und wird nachfolgend mit u bezeichnet.>>
Additions:
{{image url="http://www.bph.hbt.arch.ethz.ch/Filep/Bilder/kennwerte_schall/Transversal.gif" title="Abbildung 1a)" alt="Abbildung 1a)" width="400"}}[Abbildung 1a]>>Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (Abbildung 1a)
Deletions:
Additions:
- __1. Transversalwelle:__
{{image url="http://www.bph.hbt.arch.ethz.ch/Filep/Bilder/kennwerte_schall/Transversal.gif" title="Abbildung 1a)" alt="Abbildung 1a)" width="400"}}[Abbildung 1a]>>Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1a)
(z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)>>
- __2. Longitudinalwelle:__
{{image url="url" title="text" alt="text"}} >>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)>>
::c::
[Abbildung 2, Quelle: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif]
[Abbildung 3, Quelle: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png]
- Abbildung 1: - a)
- b)
- Abbildung 2: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif
- Abbildung 3: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png
{{image url="http://www.bph.hbt.arch.ethz.ch/Filep/Bilder/kennwerte_schall/Transversal.gif" title="Abbildung 1a)" alt="Abbildung 1a)" width="400"}}[Abbildung 1a]>>Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1a)
(z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)>>
- __2. Longitudinalwelle:__
{{image url="url" title="text" alt="text"}} >>Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)>>
::c::
[Abbildung 2, Quelle: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif]
[Abbildung 3, Quelle: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png]
- Abbildung 1: - a)
- b)
- Abbildung 2: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif
- Abbildung 3: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png
Deletions:
(z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)
- __2. Longitudinalwelle:__ Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)
[Abbildung 1, Quelle: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif]
[Abbildung 2, Quelle: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png]
- Abbildung 1: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif
- Abbildung 2: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png
No Differences
Additions:
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden.
Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier __ebene Wellen__ (siehe Abbildung 2a).
Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier __ebene Wellen__ (siehe Abbildung 2a).
Deletions:
Additions:
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig um den "Einschlagort" ausbreiten werden.
Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung 2b).
Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung 2b).
Deletions:
Additions:
**Auch in unserem Alltag** sind wir praktisch zu jeder Zeit von Wellen umgeben; sei es das Licht, der Schall oder auch beispielsweise Mikrowellen. Diese breiten sich -wie bereits oben beschrieben- auf zwei Arten aus. Doch nicht nur das Verhältnis von Ausbreitungsrichtung zur Schwingungsrichtung kann variieren.
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig um den "Einschlagort" ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung 2b).
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig um den "Einschlagort" ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung 2b).
Deletions:
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung 2b).
Additions:
Es dient lediglich zur Veranschaulichung; soll zu einigen Thematiken Tipps und Hilfestellungen geben und Ihnen helfen wichtige Zusammenhänge besser nachvollziehen zu können**
Deletions:
Additions:
===__Herleitung der Differentialgleichung einer 1-Dimensionalen Welle:__===
Wir wollen die **Differentialgleichung einer eindimensionalen Welle** herleiten und beginnen mit der allgemeinen Wellengleichung, die sich aus folgenden Komponenten zusammensetzt:
- ""u<sub>0</sub>"" = Amplitude
Wir wollen die **Differentialgleichung einer eindimensionalen Welle** herleiten und beginnen mit der allgemeinen Wellengleichung, die sich aus folgenden Komponenten zusammensetzt:
- ""u<sub>0</sub>"" = Amplitude
Additions:
**__1. Beispiel:__**
**__2. Beispiel:__**
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6) beschrieben.
__Gesucht:__
__Gegeben:__
**__2. Beispiel:__**
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6) beschrieben.
__Gesucht:__
__Gegeben:__
Deletions:
__2. Beispiel:__
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6) beschrieben.
Geg.:
Additions:
u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6) ""→"" u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π""* t / 0.3s) - (2 ""π""* x / 0.1m) + ""π"" / 6)
Deletions:
Additions:
__=====Vorlesungsskript Physik II=====__
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6) beschrieben.
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6) beschrieben.
Deletions:
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6"") beschrieben.
Additions:
**__Das hier angebotene Skript kann und soll in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen!__
Es dient lediglich zur Veranschaulichung; soll zu wichtigen Thematiken Tipps und Hilfestellungen geben und Ihnen helfen die Zusammenhänge besser nachvollziehen zu können**
Es dient lediglich zur Veranschaulichung; soll zu wichtigen Thematiken Tipps und Hilfestellungen geben und Ihnen helfen die Zusammenhänge besser nachvollziehen zu können**
Deletions:
Additions:
Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit c
u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6"") ""→"" u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π""* t / 0.3s) - (2 ""π""* x / 0.1m) + ""π"" / 6)
Vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>""), sehen wir das:
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = ""λ"" / T ist,
""⇒"" c = 0.1m / 0.3s = __0.333m/s__
u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6"") ""→"" u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π""* t / 0.3s) - (2 ""π""* x / 0.1m) + ""π"" / 6)
Vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>""), sehen wir das:
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = ""λ"" / T ist,
""⇒"" c = 0.1m / 0.3s = __0.333m/s__
Deletions:
u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6"") ""→"" u(x,t) = 30mm * sin ((2 ""π""* t / 0.3s) - (2 ""π""* x / 0.1m) + ""π"" / 6)
vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>""), sehen wir das:
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = ""λ"" / T ist ""⇒"" c = __0.333m/s__
No Differences
Additions:
Berechnung einer Wellenlänge einer Schallwelle
mit ""ω"" = 2 ""π"" * f , (das wir umstellen zu f = ""ω"" / 2 ""π"") und c = ""λ"" * f erhalten wir: c = (2""π"" / k) * (""ω"" / 2""π"")
daraus folgt für die __allgemeine Wellengleichung__ in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die Wellenzahl in der Wellengleichung:
**u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
__2. Beispiel:__
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6"") beschrieben.
Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit c.
Geg.:
u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6"") ""→"" u(x,t) = 30mm * sin ((2 ""π""* t / 0.3s) - (2 ""π""* x / 0.1m) + ""π"" / 6)
vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>""), sehen wir das:
- ""u<sub>0</sub>"" = 30mm
- ""ω"" = 2""π"" / T = 2""π"" / 0.3s ""→"" T = 0.3s
- k = 2""π"" / ""λ"" = 2""π"" / 0.1m ""→"" ""λ"" = 0.1m
- ""φ"" = ""π"" / 6
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = ""λ"" / T ist ""⇒"" c = __0.333m/s__
mit ""ω"" = 2 ""π"" * f , (das wir umstellen zu f = ""ω"" / 2 ""π"") und c = ""λ"" * f erhalten wir: c = (2""π"" / k) * (""ω"" / 2""π"")
daraus folgt für die __allgemeine Wellengleichung__ in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die Wellenzahl in der Wellengleichung:
**u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
__2. Beispiel:__
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6"") beschrieben.
Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit c.
Geg.:
u(x,t) = 30mm * sin (2 ""π"" * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + ""π"" / 6"") ""→"" u(x,t) = 30mm * sin ((2 ""π""* t / 0.3s) - (2 ""π""* x / 0.1m) + ""π"" / 6)
vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>""), sehen wir das:
- ""u<sub>0</sub>"" = 30mm
- ""ω"" = 2""π"" / T = 2""π"" / 0.3s ""→"" T = 0.3s
- k = 2""π"" / ""λ"" = 2""π"" / 0.1m ""→"" ""λ"" = 0.1m
- ""φ"" = ""π"" / 6
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = ""λ"" / T ist ""⇒"" c = __0.333m/s__
Deletions:
mit ""ω"" = 2 ""&pi"" * f , (das wir umstellen zu f = ""ω"" / 2 ""π"") und c = ""λ"" * f erhalten wir: c = (2""π"" / k) * (""ω"" / 2""π"")
daraus folgt für die allgemeine Wellengleichung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die Wellenzahl in der Wellengleichung:
**u(x, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
No Differences
Additions:
""→"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*(t - ""Δ""t) + ""φ<sub>0</sub>""), mit ""Δ""t = x/c
""⇒"" **u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")**>>
""⇒"" **u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")**>>
Deletions:
""→"" **u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")**>>
No Differences
Additions:
""→"" ""λ"" =__0.78 m__
Deletions:
Additions:
""λ"" = c/f
""λ"" = 340 m*s/435 s
""→"" ""λ"" =__0.78 m__
""λ"" = 340 m*s/435 s
""→"" ""λ"" =__0.78 m__
Deletions:
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
Additions:
""→"" ""λ"" = c/f
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
Deletions:
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
Deletions:
Additions:
[Abbildung 3]
Additions:
|?|{border:.1px dotted red; font-size:170%; color:red; line-height:150%; text-align:center}HINWEIS||
Das hier angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen! Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu einigen Thematiken geben.
Aus der bereits aus dem ersten Semester bekannten Formel {{color text="Geschwindigkeit = Strecke/Zeit , also v = s/t" c="blue"}} können wir auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge ""λ"" und der Periode T schließen.
wobei die Frequenz f das Reziproke (Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
Das hier angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen! Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu einigen Thematiken geben.
Aus der bereits aus dem ersten Semester bekannten Formel {{color text="Geschwindigkeit = Strecke/Zeit , also v = s/t" c="blue"}} können wir auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge ""λ"" und der Periode T schließen.
wobei die Frequenz f das Reziproke (Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
Deletions:
.................................................................................Das hier angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen!.................................................................................
......................................................Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu einigen Thematiken geben.......................................................
Aus der bereits aus dem ersten Semester bekannten Formel {{color text="Geschwindigkeit = Strecke/Zeit also, v = s/t" c="blue"}} können wir auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge ""λ"" und der Periode T schließen.
wobei die Frequenz f das Reziproke (=der Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
Additions:
|?|{border:1px dotted red; font-size:170%; color:red; line-height:150%; text-align:center}HINWEIS||
.................................................................................Das hier angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen!.................................................................................
......................................................Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu einigen Thematiken geben.......................................................
.................................................................................Das hier angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen!.................................................................................
......................................................Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu einigen Thematiken geben.......................................................
Deletions:
Das hier Angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen!
Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu wichtigen Thematiken geben.
Additions:
||{font-size:190%; background-color:red; color:white; text-align:center}HINWEIS||
||{font-size: 110%; background-color:#27408B; color:white; text-align:center}
Das hier Angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen!
Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu wichtigen Thematiken geben.
||
||{font-size: 110%; background-color:#27408B; color:white; text-align:center}
Das hier Angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen!
Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu wichtigen Thematiken geben.
||
Deletions:
Additions:
No Differences
Additions:
===__Einführung der Wellenzahl k:__===
Deletions:
Additions:
daraus folgt für die allgemeine Wellengleichung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die Wellenzahl in der Wellengleichung:
- **negativ**, so verläuft die Welle nach **""→""**
- **positiv**, so verläuft die Welle nach **""←""**>>
**u(x, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
- **negativ**, so verläuft die Welle nach **""→""**
- **positiv**, so verläuft die Welle nach **""←""**>>
**u(x, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
Deletions:
- **negativ**, so verläuft die Welle nach **rechts**
- **positiv**. so verläuft die Welle nach **links**>>
**u(x, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
Additions:
daraus folgt für die allgemeine Wellengleichung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>**__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die Wellenzahl im Term:
- **negativ**, so verläuft die Welle nach **rechts**
- **positiv**. so verläuft die Welle nach **links**>>
**u(x, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
- **negativ**, so verläuft die Welle nach **rechts**
- **positiv**. so verläuft die Welle nach **links**>>
**u(x, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
Deletions:
Additions:
daraus folgt für die allgemeine Wellengleichung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: **u(x, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""* t - k*x + ""φ<sub>0</sub>"") **
Deletions:
Additions:
daraus folgt für die allgemeine Wellengleichung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: **u(x, t) = ""u<sub>0</sub>"" * sin (""ω"" * t - k * x + ""φ<sub>0</sub>"") **
Deletions:
Additions:
umgestellt ergibt sich also für die Wellenzahl k = ""ω"" / c.
daraus folgt für die allgemeine Wellengleichtung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: ||**u(x, t) = ""u<sub>0</sub>"" * sin (""ω"" * t - k * x + ""φ<sub>0</sub>"") **||
daraus folgt für die allgemeine Wellengleichtung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: ||**u(x, t) = ""u<sub>0</sub>"" * sin (""ω"" * t - k * x + ""φ<sub>0</sub>"") **||
Deletions:
""→""|| **u(x, t) = ""u<sub>0</sub>"" * sin (""ω"" * t - k * x + ""φ<sub>0</sub>"") **||
Additions:
""→""|| **u(x, t) = ""u<sub>0</sub>"" * sin (""ω"" * t - k * x + ""φ<sub>0</sub>"") **||
Deletions:
Additions:
""⇒""|| **u(x, t) = ""u<sub>0</sub>"" * sin (""ω"" * t - k * x + ""φ<sub>0</sub>"") **||
Deletions:
Additions:
mit ""ω"" = 2 ""&pi"" * f , (das wir umstellen zu f = ""ω"" / 2 ""π"") und c = ""λ"" * f erhalten wir: c = (2""π"" / k) * (""ω"" / 2""π"")
umgestellt ergibt sich also für die Wellenzahl **k = ""ω"" / c. **
""⇒""|| u(x, t) = ""u<sub>0</sub>"" * sin (""ω"" * t - k * x + ""φ<sub>0</sub>"") ||
umgestellt ergibt sich also für die Wellenzahl **k = ""ω"" / c. **
""⇒""|| u(x, t) = ""u<sub>0</sub>"" * sin (""ω"" * t - k * x + ""φ<sub>0</sub>"") ||
Deletions:
und c = ""λ"" * f erhalten wir: c = (2""π"" / k) * (""ω"" / 2""π"")
umgestellt ergibt sich also für die **Wellenzahl k = ""ω"" / c. **
{{files}}
Additions:
||**Wir definieren:** die Wellenzahl k = 2 ""π"" / ""λ""||
""→"" ""λ"" = 2 ""π"" / k
mit ""ω"" = 2 ""&pi"" * f , (das wir umstellen zu f = ""ω"" / 2 ""π"")
und c = ""λ"" * f erhalten wir: c = (2""π"" / k) * (""ω"" / 2""π"")
""→"" c = ""ω"" / k
umgestellt ergibt sich also für die **Wellenzahl k = ""ω"" / c. **
""→"" ""λ"" = 2 ""π"" / k
mit ""ω"" = 2 ""&pi"" * f , (das wir umstellen zu f = ""ω"" / 2 ""π"")
und c = ""λ"" * f erhalten wir: c = (2""π"" / k) * (""ω"" / 2""π"")
""→"" c = ""ω"" / k
umgestellt ergibt sich also für die **Wellenzahl k = ""ω"" / c. **
Deletions:
Additions:
**Zur mathematischen Beschreibung** von Wellen sind mehrere Größen nötig.
Dazu zählen unter anderem __Amplitude__, __Phase__, __Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit__ und auch die __Wellenzahl k__.
__Einführung der Wellenzahl k:__
||Wir definieren die Wellenzahl k = 2 ""π"" / ""λ""||
Dazu zählen unter anderem __Amplitude__, __Phase__, __Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit__ und auch die __Wellenzahl k__.
__Einführung der Wellenzahl k:__
||Wir definieren die Wellenzahl k = 2 ""π"" / ""λ""||
Deletions:
Dazu zählen unter anderem __Amplitude__, __Phase__, __Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit__ oder auch die __Wellenzahl__.||
Additions:
||Zur mathematischen Beschreibung von Wellen sind mehrere Größen nötig.
Dazu zählen unter anderem __Amplitude__, __Phase__, __Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit__ oder auch die __Wellenzahl__.||
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet. Diese
Die an x = 0 erzeugte **Erregerschwingung:** u (x=0, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t + ""φ<sub>0</sub>""), kommt am Ort ""x<sub>1</sub>"" mit einer __Verzögerung von ""Δ""t__ an.
Dazu zählen unter anderem __Amplitude__, __Phase__, __Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit__ oder auch die __Wellenzahl__.||
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet. Diese
Die an x = 0 erzeugte **Erregerschwingung:** u (x=0, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t + ""φ<sub>0</sub>""), kommt am Ort ""x<sub>1</sub>"" mit einer __Verzögerung von ""Δ""t__ an.
Deletions:
**Erregerschwingung:** u (x=0, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t + ""φ<sub>0</sub>"")
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet.
Die an x = 0 erzeugte Erregerschwingung kommt am Ort ""x<sub>1</sub>"" mit einer __Verzögerung von ""Δ""t__ an.
Additions:
||Zur mathematischen Beschreibung von Wellen sind mehrere Größen nötig. Dazu zählen __Amplitude__, __Phase__ und __Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit__.||
Additions:
**Erregerschwingung:** u (x=0, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t + ""φ<sub>0</sub>"")
Daraus können wir für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c__ folgern:
Daraus können wir für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c__ folgern:
Deletions:
Daraus können wir für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c folgern:__
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet.
Die an x = 0 erzeugte Erregerschwingung kommt am Ort ""x<sub>1</sub>"" mit einer __Verzögerung von ""Δ""t__ an.
Daraus können wir für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c folgern:__
Die an x = 0 erzeugte Erregerschwingung kommt am Ort ""x<sub>1</sub>"" mit einer __Verzögerung von ""Δ""t__ an.
Daraus können wir für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c folgern:__
Deletions:
Daraus folgt für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c:__
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet. Der an x = 0 erzeugte Schwingungszustand kommt am Ort ""x<sub>1</sub>"" mit einer __Verzögerung von ""Δ""t__ an.
Daraus folgt für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c:__
c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c
""⇒"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*(t - ""Δ""t) + ""φ<sub>0</sub>""), mit ""Δ""t = x/c
Daraus folgt für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c:__
c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c
""⇒"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*(t - ""Δ""t) + ""φ<sub>0</sub>""), mit ""Δ""t = x/c
Deletions:
>>Daraus folgt für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c:__
c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c>>
>>""⇒"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*(t - ""Δ""t) + ""φ<sub>0</sub>""), mit ""Δ""t = x/c
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}
No Differences
No Differences
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}
Deletions:
No Differences
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="300"}}
Deletions:
Additions:
- Vorlesungsmitschrift von Prof. Dr. Udo Behn
Deletions:
- Vorlesungsmitschrift von Prof. Dr. Udo Behn
Additions:
>>Die y-Achse stellt die Elongation (Auslenkung) zu einer bestimmten Zeit oder einer Strecke dar und wird nachfolgend mit u bezeichnet.>>
Deletions:
Additions:
>>Die y-Achse stellt die Elongation (Auslenkung) zu einer bestimmten Zeit oder Strecke, wird im nachfolgenden mit u bezeichnet.>>
Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. An bestimmten Stellen werden durch diese Überlagerung __Wellenfronten__ ausgebildet.
Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. An bestimmten Stellen werden durch diese Überlagerung __Wellenfronten__ ausgebildet.
Deletions:
Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (=Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. An bestimmten Stellen werden durch diese Überlagerung __Wellenfronten__ ausgebildet.
Additions:
[Abbildung 1, Quelle: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif]
[Abbildung 2, Quelle: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png]
[Abbildung 2, Quelle: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png]
Deletions:
[Abbildung 2]
No Differences
Additions:
__Einführung der Wellenzahl k:__
Additions:
{{image url=" " text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="300"}}
{{files}}
{{files}}
Deletions:
No Differences
Additions:
""→"" **u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")**>>
Deletions:
Additions:
""→"" **u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")**>>
Deletions:
Additions:
""→"" **u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>""**)>>
Deletions:
Additions:
>>""⇒"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*(t - ""Δ""t) + ""φ<sub>0</sub>""), mit ""Δ""t = x/c
Deletions:
Additions:
>>Daraus folgt für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c:__
c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c>>
c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c>>
Deletions:
**c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c**>>
Additions:
**c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c**>>
Deletions:
Additions:
**c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c**>>
Deletions:
Additions:
**c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c**>>
""→"" **{{color text="u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>""c="green"}}**)>>
""→"" **{{color text="u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>""c="green"}}**)>>
Deletions:
""→""
u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")>>
Additions:
>>""⇒"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*(t-""Δ""t) + ""φ<sub>0</sub>""), mit ""Δ""t = x/c
Deletions:
Additions:
""→""
u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")>>
u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")>>
Deletions:
Additions:
""→"" __**u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>""**__)>>
Deletions:
No Differences
Additions:
>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang des roten Pfeils ausbreitet. Der an x = 0 erzeugte Schwingungszustand kommt am Ort ""x<sub>1</sub>"" mit einer __Verzögerung von ""Δ""t__ an.>>
>>Daraus folgt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c:
**c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c**>>
>>""⇒"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*(t-""Δ""t) + ""φ<sub>0</sub>""), mit ""Δ""t = x/c
""→"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")>>
>>Daraus folgt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c:
**c = x/""Δ""t, ""→"" ""Δ""t = x/c**>>
>>""⇒"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*(t-""Δ""t) + ""φ<sub>0</sub>""), mit ""Δ""t = x/c
""→"" u (x,t) = ""u<sub>0</sub>*sin (""ω""*t - (""ω""*x / c) + ""φ<sub>0</sub>"")>>
No Differences
Additions:
Erregerschwingung: u (x=0, t) = ""u<sub>0</sub>""*sin (""ω""*t+""φ<sub>0</sub>"")
Additions:
{{image url="EbeneWelle.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="300"}}
Deletions:
Additions:
{{image url="EbeneWelle.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle"}}
Deletions:
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle"}}
Deletions:
{{files}}
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.1.gif" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle"}}
Deletions:
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.1.jpg" text=" Ebene Welle" alt="Ebene Welle"}}
Deletions:
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.1.gif" text=" Ebene Welle" alt="Ebene Welle"}}
Deletions:
Additions:
{{image url="EbeneWelle1.1.gif" text=" Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="300"}}
Deletions:
Additions:
{{image url="
{{files}}
{{files}}
Additions:
==1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:==
Additions:
""λ"" = c/f
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
Deletions:
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
Additions:
>>Die y-Achse, also die Elongation (=Auslenkung) zu einer bestimmten Zeit oder Strecke, wird im nachfolgenden mit u bezeichnet.>>
Deletions:
Additions:
>>Die y-Achse, also die Auslenkung (Elongation) zu einer bestimmten Zeit oder Strecke, wird im nachfolgenden mit u bezeichnet.>>
Deletions:
Additions:
>>__Hinweis:__ Die y-Achse, also die Auslenkung (Elongation) zu einer bestimmten Zeit oder Strecke, wird im nachfolgenden mit u bezeichnet.>>
Deletions:
Additions:
>>Hinweis: die y-Achse, also die Auslenkung (Elongation) zu einer bestimmten Zeit oder Strecke, wird im nachfolgenden mit u bezeichnet.>>
Additions:
Nach dem **Huygenschen Prinzipes** bilden sich kreisförmige- und ebene Wellen wie folgt aus:
Deletions:
Additions:
__Wellenfront:__ 3-Dimensionale Fläche, die **alle Punkte __gleicher__ Phase** miteinander verbindet.
Deletions:
Additions:
Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (=Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. An bestimmten Stellen werden durch diese Überlagerung __Wellenfronten__ ausgebildet.
Deletions:
Additions:
Die Wellenfront kann ich sich in zwei Arten ausbreiten. Sie bilden sich aufgrund des **Huygenschen Prinzipes** wie folgt aus:
Deletions:
Additions:
Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (=Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. An bestimmten Stellen wird durch diese Überlagerung __Wellenfronten__ ausgebildet.
Deletions:
Additions:
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung 2b).
Deletions:
Additions:
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung 2b ).
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden. Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier __ebene Wellen__ (siehe Abbildung 2a).
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden. Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier __ebene Wellen__ (siehe Abbildung 2a).
Deletions:
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden. Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier __ebene Wellen__ (siehe Abbildung 2).
Additions:
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung 2).
Deletions:
Additions:
**In unserem Alltag** sind wir praktisch zu jeder Zeit von Wellen umgeben; sei es das Licht, der Schall oder beispielsweise auch Mikrowellen. Diese breiten sich -wie bereits oben beschrieben- auf zwei Arten aus. Doch nicht nur das Verhältnis von Ausbreitungsrichtung zur Schwingungsrichtung kann variieren.
Deletions:
No Differences
No Differences
Additions:
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwellen__ (siehe Abbildung).
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden. Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier __ebene Wellen__ (siehe Abbildung 2).
Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (=Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. Diese bilden an bestimmten Stellen __Wellenfronten__ aus.
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden. Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier __ebene Wellen__ (siehe Abbildung 2).
Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (=Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. Diese bilden an bestimmten Stellen __Wellenfronten__ aus.
Deletions:
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden. Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen __ebene Wellen__(siehe Abbildung 2).
Additions:
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwelle__(siehe Abbildung).
Deletions:
Additions:
In unserem Alltag sind wir praktisch zu jeder Zeit von Wellen umgeben; sei es das Licht, der Schall oder beispielsweise auch Mikrowellen. Diese breiten sich -wie bereits oben beschrieben- auf zwei Arten aus. Doch nicht nur das Verhältnis von Ausbreitungsrichtung zur Schwingungsrichtung kann variieren.
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwelle__(siehe Abbildung).
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden. Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen __ebene Wellen__(siehe Abbildung 2).
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig ausbreiten werden. Diese Form der Ausbreitung nennt man __Kugelwelle__(siehe Abbildung).
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden. Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen __ebene Wellen__(siehe Abbildung 2).
Additions:
__Wellenfront: __ 3-Dimensionale Fläche, die **alle Punkte __gleicher__ Phase** miteinander verbindet.
Deletions:
Additions:
>>Der Abstand zwischen zwei "roten Linien" entspricht jeweils einer Wellenlänge ""λ"">>
Additions:
__Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront__ (der Primärwelle) zu einem späteren Zeitpunkt.>>
Deletions:
Additions:
>>**__Huygenssche Prinzip:__** Nach diesem Prinzip kann jeder Punkt einer Wellenfront (also einer Fläche gleicher Phase) als Ausgangspunkt einer elementaren Kugelwelle (auch __Elementarwelle__ genannt) aufgefasst werden.
__**Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront**__ (der Primärwelle) zu einem späteren Zeitpunkt.>>
__**Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront**__ (der Primärwelle) zu einem späteren Zeitpunkt.>>
Deletions:
Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront (der Primärwelle) zu einem späteren Zeitpunkt.>>
Additions:
>>**__Huygenssche Prinzip:__** Nach diesem Prinzip kann jeder Punkt einer Wellenfront (also einer Fläche gleicher Phase) als Ausgangspunkt einer elementaren Kugelwelle (auch Elementarwelle genannt) aufgefasst werden.
Deletions:
Additions:
Die Wellenfront kann ich sich in zwei Arten (bei einer 1-dimensionalen Welle) ausbreiten. Sie bilden sich aufgrund des **Huygenschen Prinzipes** wie folgt aus:
>>**__Huygenssche Prinzip:__**Nach diesem Prinzip kann jeder Punkt einer Wellenfront (also einer Fläche gleicher Phase) als Ausgangspunkt einer elementaren Kugelwelle (auch Elementarwelle genannt) aufgefasst werden.
Diese Sekundärwelle bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit und hat die gleiche Frequenz und Phase wie die Primärwelle.
Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront (der Primärwelle) zu einem späteren Zeitpunkt.>>
>>**__Huygenssche Prinzip:__**Nach diesem Prinzip kann jeder Punkt einer Wellenfront (also einer Fläche gleicher Phase) als Ausgangspunkt einer elementaren Kugelwelle (auch Elementarwelle genannt) aufgefasst werden.
Diese Sekundärwelle bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit und hat die gleiche Frequenz und Phase wie die Primärwelle.
Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront (der Primärwelle) zu einem späteren Zeitpunkt.>>
Deletions:
Additions:
Berechnung einer Wellenlänge einer Schallwelle:
Deletions:
Additions:
__1. Beispiel:__
Deletions:
Additions:
1. Beispiel
Berechnung der Wellenlänge einer Schallwelle:
Berechnung der Wellenlänge einer Schallwelle:
Deletions:
No Differences
Additions:
{{image url="http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png" text="Abbildung 2" alt="Abbildung 2" width="500"}}
Deletions:
Additions:
[Abbildung 1]
>>**__Phase:__** Die Phase einer Welle gibt an, in welchem Abschnitt innerhalb einer Periode sich die Welle zu einem Referenzzeitpunkt und -ort befindet. Sie legt also fest, wie groß die Auslenkung ist.>>
::c::
Die Wellenfront kann ich sich in zwei Arten (bei einer 1-dimensionalen Welle) ausbreiten. Sie bilden sich aufgrund des Huygenschen Prinzipes wie folgt aus:
{{image url="http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png" text="Abbildung 2" alt="Abbildung 2" width="400"}}
[Abbildung 2]
- Abbildung 1: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif
- Abbildung 2: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png
>>**__Phase:__** Die Phase einer Welle gibt an, in welchem Abschnitt innerhalb einer Periode sich die Welle zu einem Referenzzeitpunkt und -ort befindet. Sie legt also fest, wie groß die Auslenkung ist.>>
::c::
Die Wellenfront kann ich sich in zwei Arten (bei einer 1-dimensionalen Welle) ausbreiten. Sie bilden sich aufgrund des Huygenschen Prinzipes wie folgt aus:
{{image url="http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png" text="Abbildung 2" alt="Abbildung 2" width="400"}}
[Abbildung 2]
- Abbildung 1: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif
- Abbildung 2: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png
Deletions:
- Abbildung 1: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif
Additions:
>>__Phase:__ Die Phase einer Welle gibt an, in welchem Abschnitt innerhalb einer Periode sich die Welle zu einem Referenzzeitpunkt und -ort befindet. Sie legt also fest, wie groß die Auslenkung ist.>>
__Wellenfront: __ 3 Dimensionale Fläche, die **alle Punkte __gleicher__ Phase** miteinander verbindet.
__Wellenfront: __ 3 Dimensionale Fläche, die **alle Punkte __gleicher__ Phase** miteinander verbindet.
No Differences
No Differences
Additions:
1. Beispiel Berechnung der Wellenlänge einer Schallwelle:
Geg.: f = 435 ""s<sup>-1</sup>"", c = 340 m/s
""λ"" = c/f
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
Geg.: f = 435 ""s<sup>-1</sup>"", c = 340 m/s
""λ"" = c/f
""λ"" = 340 m*s/435 s
""λ"" =__0.78 m__
Additions:
Additions:
wobei die Frequenz f das Reziproke (=der Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
Deletions:
Additions:
c = ""λ"" / T bzw. c = ""λ""* f
Deletions:
Additions:
c = ""λ"" / T bzw. c = ""λ""* f
Deletions:
Additions:
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c:
||c = ""λ"" / T bzw. c = ""λ""* f||
wobei die Frequenz f das Reziproke (=der Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
||c = ""λ"" / T bzw. c = ""λ""* f||
wobei die Frequenz f das Reziproke (=der Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
Deletions:
Additions:
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c: c = ""λ"" / T bzw. c= ""λ"" * f , wobei die Frequenz f das Reziproke (=der Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
Deletions:
Additions:
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c: c = ""λ"" / T = ""λ"" * f , wobei die Frequenz f das Reziproke (=der Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
Deletions:
Additions:
- Vorlesungsmitschrift von Prof. Dr. Udo Behn
Deletions:
Additions:
Aus der bereits aus dem ersten Semester bekannten Formel {{color text="Geschwindigkeit = Strecke/Zeit also, v = s/t" c="blue"}} können wir auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge ""λ"" und der Periode T schließen.
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c: {{color text="c = ""λ"" / T = ""λ"" * f" c="blue"}} , wobei die Frequenz f das Reziproke (=der Kehrwert) der Periode T, also f = 1 / T ist.
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c: {{color text="c = ""λ"" / T = ""λ"" * f" c="blue"}} , wobei die Frequenz f das Reziproke (=der Kehrwert) der Periode T, also f = 1 / T ist.
Deletions:
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c: || c = ""λ"" / T = ""λ"" * f || , wobei die Frequenz f das Reziproke (Kehrwert) der Periode T, also f = 1 / T ist.
Additions:
Zum Zeitpunkt t=0 stellen sich folgende Wellen ein:
Aus der bereits aus dem ersten Semester bekannten Formel || Geschwindigkeit = Strecke / Zeit also, v = s / t || können wir auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge ""λ"" und der Periode T rückschließen.
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c: || c = ""λ"" / T = ""λ"" * f || , wobei die Frequenz f das Reziproke (Kehrwert) der Periode T, also f = 1 / T ist.
Aus der bereits aus dem ersten Semester bekannten Formel || Geschwindigkeit = Strecke / Zeit also, v = s / t || können wir auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge ""λ"" und der Periode T rückschließen.
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c: || c = ""λ"" / T = ""λ"" * f || , wobei die Frequenz f das Reziproke (Kehrwert) der Periode T, also f = 1 / T ist.
Deletions:
Additions:
Zum Zeitpunkt t=0 stellt sich folgende Welle ein:
{{image url="http://www.sengpielaudio.com/WellenSinusZeitAbstandTime.gif" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="400"}}
{{image url="http://www.sengpielaudio.com/WellenSinusZeitAbstandTime.gif" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="400"}}
Deletions:
<<{{image url="http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="400"}}<<
Annahme: Ausbreitungsgeschwindigkeit c = const.
Additions:
Zu verschiedenen Zeitpunkten t erbegeben sich folgende "stehende" Wellen:
Deletions:
Additions:
<<{{image url="http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="400"}}<<
Deletions:
Additions:
<<{{image url="http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="500"}}<<
Deletions:
Additions:
zum verschiedenen Zeitpunkten t erbegeben sich folgende "stehende" Wellen:
<<{{image url="http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="300"}}<<
- Abbildung 1: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif
<<{{image url="http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="300"}}<<
- Abbildung 1: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif
Deletions:
<<{{image url="http://www.shure-academy.de/dms/academy/courses/e-learning/de/images/amplitude-wellenlaenge-strecke/amplitude-wellenlaenge-strecke.jpg" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="300"}}[Abbildung 1]<<
- Abbildung 1: http://www.shure-academy.de/dms/academy/courses/e-learning/de/images/amplitude-wellenlaenge-strecke/amplitude-wellenlaenge-strecke.jpg
Additions:
zum Zeitpunkt t=0 ergibt sich folgende "stehende" Welle:
<<{{image url="http://www.shure-academy.de/dms/academy/courses/e-learning/de/images/amplitude-wellenlaenge-strecke/amplitude-wellenlaenge-strecke.jpg" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="300"}}[Abbildung 1]<<
Annahme: Ausbreitungsgeschwindigkeit c = const.
<<{{image url="http://www.shure-academy.de/dms/academy/courses/e-learning/de/images/amplitude-wellenlaenge-strecke/amplitude-wellenlaenge-strecke.jpg" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1" width="300"}}[Abbildung 1]<<
Annahme: Ausbreitungsgeschwindigkeit c = const.
Deletions:
[Abbildung 1]
Additions:
{{image url="http://www.shure-academy.de/dms/academy/courses/e-learning/de/images/amplitude-wellenlaenge-strecke/amplitude-wellenlaenge-strecke.jpg" text="Abbildung 1" alt="Abbildung 1"}}
[Abbildung 1]
[Abbildung 1]
Deletions:
Additions:
__**Verwendete Grafiken: **__
Deletions:
Additions:
{{image url="http://www.shure-academy.de/dms/academy/courses/e-learning/de/images/amplitude-wellenlaenge-strecke/amplitude-wellenlaenge-strecke.jpg" alt="Abbildung 1"}}
----
__**Verwendete Quellen: **__
- Vorlesungsmitschrift Prof. Dr. Udo Behn
__**Verwendete Grafiken:**__
- Abbildung 1: http://www.shure-academy.de/dms/academy/courses/e-learning/de/images/amplitude-wellenlaenge-strecke/amplitude-wellenlaenge-strecke.jpg
Additions:
||{{color text="HINWEIS:" c="red"}} Das hier Angebotene Skript kann in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen! Es dient lediglich zur Veranschaulichung und soll weitere Hinweise und Erläuterungen zu wichtigen Thematiken geben.||
- __1. Transversalwelle:__ Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung
- __2. Longitudinalwelle:__ Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
- __1. Transversalwelle:__ Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung
- __2. Longitudinalwelle:__ Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
Deletions:
- 1. Transversalwelle: Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
Additions:
- 1. Transversalwelle: Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung
(z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)
(z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)
Deletions:
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)
Additions:
Es gibt **zwei** Möglichkeiten Eindimensionaler Wellen sich auszubreiten:
- 1. Transversalwelle: Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)
- 1. Transversalwelle: Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung (z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung (z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)
Deletions:
- 1. Transversalwelle: Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
Additions:
{{color text="Merke:" c="red"}} Eine Welle ist eine zeitliche und räumliche Änderung einer physikalischen Größe
Deletions:
Additions:
{{color text="Merke:" c="red"}} Eine Welle ist eine zeitlich- und räumliche Änderung einer physikalischen Größe
Deletions:
Additions:
{{color text="Merke:" c="red"}}__ Eine Welle ist eine zeitlich- und räumliche Änderung einer physikalischen Größe
Deletions:
Additions:
||__Defintion Welle:__ Eine Welle ist eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes||
>>__{{color text="Merke:" c="red"}}__ Eine Welle ist eine zeitlich- und räumliche Änderung einer physikalischen Größe>>
>>__{{color text="Merke:" c="red"}}__ Eine Welle ist eine zeitlich- und räumliche Änderung einer physikalischen Größe>>
Deletions:
Additions:
>>__{{color text="Merke:" c="red"}}__ Eine Welle ist eine zeitlich- und räumliche Änderung einer physikalischen Größe>> ||__Defintion Welle:__ Eine Welle ist eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes||
Deletions:
||__Defintion Welle:__ Eine Welle ist eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes||
Additions:
>>__{{color text="Merke:" c="red"}}__ Eine Welle ist eine zeitlich- und räumliche Änderung einer physikalischen Größe>>
Deletions:
Additions:
==1. Eindimensionale Wellen:==
Deletions:
Additions:
==1. Eindimensinale Wellen:==
Deletions:
Additions:
====1. Wellen====
Deletions:
Additions:
===1. Wellen===
Deletions:
No Differences
Additions:
===Wellen===
Deletions:
Additions:
Es gibt zwei Möglichkeiten Eindimensionaler Wellen sich auszubreiten:
- 1. Transversalwelle: Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
- 1. Transversalwelle: Schwingungsrichtung **senkrecht** zur Ausbreitungsrichtung
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel** zur Ausbreitungsrichtung
Deletions:
- 2. Longitudinalwelle: Schwingungsrichtung **parallel* zur Ausbreitungsrichtung
Additions:
==Wellen==
Deletions:
Additions:
||__Defintion Welle:__ Eine Welle ist eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes||