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Tutorium Mathematik 3
Grundbegriffe der Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen
0. Grundlagen
In einer Differentialgleichung (DGL) sind eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion sowie ggf. die Funktion selber und unabhängige Variable enthalten. Es ist das Ziel, alle Funktionen zu finden, welche die DGL erfüllen.
Ist die gesuchte Funktion nur von einer Unabhängigen abhängig, wie z.B. bei y=f(x), dann spricht man von einer gewöhnlichen DGL. Gibt es mehrere Unabhängige, so sind die Ableitungen partiell und man spricht von partiellen DGL.
y'+3y-xy'+y=sin(x)-> gewöhnliche DGL
(ð^2u(x,t))/ðt^2+k((ðu(x,t))/(ðx))=r-> partielle DGL
Zur Suche der passenden Lösungsfunktionen gibt es unterschiedliche Methoden, die vom Typ der DGL abhängen. Deshalb ist es sinnvoll, gegebene gewöhnliche DGL nach bestimmten Kriterien klassifizieren zu können:
a) die höchste vorkommende Ableitung entspricht der Ordnung der DGL.
y'+3y-xy'+y=sin(x)-> DGL 3. Ordnung
b) Ist eine DGL nach der höchsten Ableitung aufgelöst, heißt sie explizit, andernfalls heißt die DGL implizit.
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