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Tutorium Mathematische Grundlagen und Analysis


Mengenlehre



Grundlagen:

Definition:
„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung Mvon bestimmten wohlunterschiedenen Objekten munserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von Mgenannt werden) zu einem Ganzen.“

1.1 Die Vereinigungsmenge
A ∪ B →Ausgesprochen: „A vereinigt mit B“.
Definition: Zur Vereinigungsmenge gehören die Elemente, die entweder zu A oder zu B gehören oder in beiden Elementen enthalten sind.
Beispiel:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3, 4, 5}
A ∪ B = {1,2,3,4,5}

1.2 Die Schnittmenge
A ∩ B → Ausgesprochen: „A geschnitten mit B“.
Definition: Als Schnittmenge bezeichnet man die Menge aller Ereignisse, die sowohl zur Gruppe A als auch zur Gruppe B gehören.
Wenn zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, dann ist ihre Schnittmenge die leere Menge. Die leere Menge wird durch das Zeichen ∅ symbolisiert.
Beispiel:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}
A ∩ B = {4,5}

Begriffe
A=B
• A ist gleich der Menge von B
• Jedes Element von A ist gleich ein Element von B
A ∪ B
• A vereinigt mit B
• Menge aller Elemente die zu A oder zu gehören
A ∩ B
• A geschnitten mit B
• Alle Elemente die zu A und auch gleichzeitig zu B gehören
A ∕ B
• A ohne B
• Menge aller Elemente von A, die aber nicht zu B gehören

Übungsaufgaben

1) Gegeben seien die Mengen:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
B = {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}

Zu bestimmen sind die Mengen
a) B ∩ A
b) B ∪ A
c) A \ B
d) B \ A

2) Gegeben sind folgende Mengen:
A = {4; 3; 2; 1}
B = {1; 3; 5; 6; 11}
C = {14; 5; 3; 8; 12}
D = {21; 17; 6; 5; 10}

a) Schreiben Sie in aufzählender Form:
(A∪B)∩C
(B∩D) ∪A
C \ (A∩B)
(D∩C) \ B

3) Gegeben sind die folgenden Intervalle:
A = [5;10]
B = (7;15)
C = (3;7)
D = [2;5]
E = (1; ∞)

Bestimmen Sie folgende Mengen:
a) B ∪ A
b) A \ B
c) B \ A
d) E gestrichen
e) C∪ B∪ A
f) ( C∪ A ) \ B
g) [ C∩ (A \ D)] ∪ [A \ ( C B∪ )]
h) D gestrichen

Lösungen
1.
a) {5,6,7,8,9,10}
b) {1,2,3,...,14,15}
c) {1,2,3,4}
d) {11,12,13,14,15}

2.
a) {3,5}
b) {1,2,3,4,5,6}
c) {5,8,12,14}
d) {}

3.
a) [5;15)
b) [5;7]
c) (10;15)
d) (-∞;1]
e) (3;15)
f) (3;7]
g) (5;7]
h) (-∞;2)∪(5;∞)

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PDF Dokument Aufgaben und Lösungen Mengenlehre
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