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====Tutorium Mathematische Grundlagen und Analysis====
===Gebrochenrationale Funktionen===
||**Aufgabe 1**
Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = (9-x^2)/(x^2+3)
a) Definitionsbereich
b) Nullstellen
c) Verhalten im Unendlichen
d) Extrempunkte und Art es Extrema
**Lösung**
**a)** Definitionsbereich
Db.: x Reelle Zahlen (durch das Quadrat im Nenner wird alles positiv und auch wenn x = 0, wird Nenner nicht 0, da 3 vorhanden)
**b) Nullstellen**
(9-x^2)/(x^2+3)
(Es reicht aus, sofort nur den Zähler = 0 zu setzen, da durch Multiplikation des Nenners mit null der Zähler wegfällt)
9 -x^2 = 0
9 = x^2
√9 = x1,2
x1= 3
x2 = -3
**c)** Verhalten im Unendlichen
limx ->+-∞ (9-x^2)/(x^2+3)=limx^2(9/x^2-1)/x^2(1+2/x^2)=-1
**d)** Extrempunkte und Art des Extrema
-> Ableitungen bilden
f'(x) = -24x/(x^2+3)^2
f''(x) =72x^2-72/(x^2+3^2)
Extrema: f'(x) = 0
f''(0) = -8/3 -> Maximum
-24x = 0
x=0
f(0) = 3
HP(0,3)
||
||**Aufgabe 2**
Bestimmen Sie für folgende Funktion
f(x) = (2x-1)/x^2
a) Definitionsbereich
b) Symmetrie
c) Verhalten im Unendlichen
d) Achsenschnittpunkte
e) Extrempunkte und Art des Extrema
f) Wendepunkte
g) Wendetangente
**Lösung**
f(x) = (2x-1)/x^2
**a)** Definitionsbereich
x Reelle Zahlen /
**b)** Symmetrie
f(x) = (2x-1)/x^2
f(-x) = 2(-x-1)/(-x^2)=-2x-1/x^2->f(x)≠ f(-x) -> keine Achsensymmetrie
-f(x) = - ((2x-1)/x^2))≠ f(-x) -> keine Punktsymmetrie
Erklärung auch einfacher möglich:
Ist die Funktion gerade, liegt Achsensymmetrie vor
Ist die Funktion ungerade, liegt Punktsymmetrie vor.
Da die Funktion jeweils einen geraden und ungeraden Exponenten hat, liegt keine Symmetrie vor.
**c)** Verhalten im Unendlichen
limx->+-∞ (2x-1)/x^2=limx->+-∞ x(2-1/x)/x^2=limx->+-∞ 2/x = 0
Asymptote ist y= 0.
**d)** Achsenschnittpunkte
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
f(x) = 0
2x -1 = 0
x = 0,5
Sx(0,5;0)
Schnittpunkt mit der y-Achse:
x = 0
(2*0-1)/0^2
= n.l. -> x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich von f, d.h. der Graph von f hat keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.
**e)** Extrempunkt und Art des Extrema
->Ableitungen bilden
f '(x) = (2-2x)/x^2
f ''(x) = (4x-6)/x^4
f '''(x) = (24-12x)/x^5
Extrema: f '(x) = 0
f ''(1) = -2 -> Maximum
2-2x = 0
f(1) = 1
x = 1
HP(1,1)
**f)** Wendepunkte
f ''(x) = 0
f '''(3/2)=0,79 ≠ 0 -> WP existiert
4x - 6 = 0
f(3/2)=8/9
4x = 6
x=3/2
WP(3/2;8/9)
**g)** Wendetangente
a) Anstieg: m = f '(x)
m = f '(3/2)=-8/27
b) Gleichung: y = mx + n
8/9=-8/27*3/2+n
n=4/3
y=-8/27x+4/3
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||**{{files download="Differentialgleichung2.pdf"text="PDF Dokument Aufgaben Differentialgleichung 2"}}**||
||**{{files download="Differentialgleichung3.pdf"text="PDF Dokument Lösungen Differentialgleichung"}}**||
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===Gebrochenrationale Funktionen===
||**Aufgabe 1**
Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = (9-x^2)/(x^2+3)
a) Definitionsbereich
b) Nullstellen
c) Verhalten im Unendlichen
d) Extrempunkte und Art es Extrema
**Lösung**
**a)** Definitionsbereich
Db.: x Reelle Zahlen (durch das Quadrat im Nenner wird alles positiv und auch wenn x = 0, wird Nenner nicht 0, da 3 vorhanden)
**b) Nullstellen**
(9-x^2)/(x^2+3)
(Es reicht aus, sofort nur den Zähler = 0 zu setzen, da durch Multiplikation des Nenners mit null der Zähler wegfällt)
9 -x^2 = 0
9 = x^2
√9 = x1,2
x1= 3
x2 = -3
**c)** Verhalten im Unendlichen
limx ->+-∞ (9-x^2)/(x^2+3)=limx^2(9/x^2-1)/x^2(1+2/x^2)=-1
**d)** Extrempunkte und Art des Extrema
-> Ableitungen bilden
f'(x) = -24x/(x^2+3)^2
f''(x) =72x^2-72/(x^2+3^2)
Extrema: f'(x) = 0
f''(0) = -8/3 -> Maximum
-24x = 0
x=0
f(0) = 3
HP(0,3)
||
||**Aufgabe 2**
Bestimmen Sie für folgende Funktion
f(x) = (2x-1)/x^2
a) Definitionsbereich
b) Symmetrie
c) Verhalten im Unendlichen
d) Achsenschnittpunkte
e) Extrempunkte und Art des Extrema
f) Wendepunkte
g) Wendetangente
**Lösung**
f(x) = (2x-1)/x^2
**a)** Definitionsbereich
x Reelle Zahlen /
**b)** Symmetrie
f(x) = (2x-1)/x^2
f(-x) = 2(-x-1)/(-x^2)=-2x-1/x^2->f(x)≠ f(-x) -> keine Achsensymmetrie
-f(x) = - ((2x-1)/x^2))≠ f(-x) -> keine Punktsymmetrie
Erklärung auch einfacher möglich:
Ist die Funktion gerade, liegt Achsensymmetrie vor
Ist die Funktion ungerade, liegt Punktsymmetrie vor.
Da die Funktion jeweils einen geraden und ungeraden Exponenten hat, liegt keine Symmetrie vor.
**c)** Verhalten im Unendlichen
limx->+-∞ (2x-1)/x^2=limx->+-∞ x(2-1/x)/x^2=limx->+-∞ 2/x = 0
Asymptote ist y= 0.
**d)** Achsenschnittpunkte
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
f(x) = 0
2x -1 = 0
x = 0,5
Sx(0,5;0)
Schnittpunkt mit der y-Achse:
x = 0
(2*0-1)/0^2
= n.l. -> x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich von f, d.h. der Graph von f hat keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.
**e)** Extrempunkt und Art des Extrema
->Ableitungen bilden
f '(x) = (2-2x)/x^2
f ''(x) = (4x-6)/x^4
f '''(x) = (24-12x)/x^5
Extrema: f '(x) = 0
f ''(1) = -2 -> Maximum
2-2x = 0
f(1) = 1
x = 1
HP(1,1)
**f)** Wendepunkte
f ''(x) = 0
f '''(3/2)=0,79 ≠ 0 -> WP existiert
4x - 6 = 0
f(3/2)=8/9
4x = 6
x=3/2
WP(3/2;8/9)
**g)** Wendetangente
a) Anstieg: m = f '(x)
m = f '(3/2)=-8/27
b) Gleichung: y = mx + n
8/9=-8/27*3/2+n
n=4/3
y=-8/27x+4/3
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