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Tutorium Mathematischer Grundkurs


Gleichungen und Ungleichungen für eine Variable


Äquivalenzumformungenlassen die Lösungsmenge unverändert. Dazu gehört:

1. Es wird auf beiden Seiten dasselbe addiert oder subtrahiert.
„Dasselbe“ kann eine beliebige Zahl sein (z.B. 13) oder eine Variable (z.B. x) oder auch ein komplizierterer Ausdruck (z. B. (2x – 4)).

2. Beide Seiten der Gleichung werden mit demselben multipliziert.
Hier muss man aufpassen, dass man nicht mit Null multipliziert. Dabei wird nämlich sogar eine falsche Gleichung richtig, nämlich zu 0 = 0, und das darf nicht passieren. (auch nicht aus Versehen: bei Multiplikation mit (2x – 4) würde man nämlich dann mit Null multiplizieren haben, wenn x gerade 2 wäre)

3. Beide Seiten der Gleichung werden durch dasselbedividiert, wobei man auch nicht durch Null dividieren darf!

Quadratische Gleichungenbringt man in die Normalform: x²+px+q = 0

und löst sie mit der auswendig gelernten Formel

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMatheGKGleichungen/ungleichung1.jpg)





Bei Wurzelgleichungenwerden die Wurzeln i.a. durch Quadrieren beseitigt. (Weil Quadrieren keine Äquivalenzoperation ist, muss man am Ende stets eine Probe machen.)

√(x+2)+√(x-3) = 5

Vor dem Quadrieren die Wurzeln „gleichmäßig“ verteilen verringert oft den Aufwand

√(x+2) = 5-√(x-3) I (...)²

x+2 = 25-10√(x-3)+x-3

10√(x-3) = 20

√(x-3) = 2 I (...)²

x-3 = 4

x= 7

Die Probe zeigt, dass diese Lösung stimmt.






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