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Tutorium Mathematik 3


Laplace - Transformation - Lösungen


Aufgabe 2.1

Nachfolgend für t ≥ 0 definierte Funktionen haben für t < 0 den Funktionswert f(t) = 0. Transformieren Sie mit der Tabelle
in den Bildbereich der Laplace-Transformation!

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Tranformation1.jpg)

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation2.jpg)

































2.1.1.

f(t)=4e^(-3t)
->F(s)=4/(s+3)

2.1.2. f(t)=1+2t+t^2
->F(s)=1/s+2/s^2+2/s^3

2.1.3. f(t)=(1+2t+t^2)e^(-2t)
->F(s)=1/(s+2)+2/(s+2)^2+2/(s+2)^3

2.1.4. f(t)=e^t+e^(-t)
->F(s)=1/(s-1)+1/(s+1)
->F(s)=2s/(s^2-1)

2.1.5. f(t)=1/2(e^t-e^(-t))
(=sinh(t))
->F(s)=1/2((1/(s-1)-1/(s+1))
->F(s)=1/2((2/(s^2-1))
->F(s)=1/(s^2-1)

2.1.6. f(t)=sin(2t)+3cos(2t)
->F(s)=2/(s^2+4)+3s/(s^2+4)=(2+3s)/(s^2+4)

2.1.7. f(t)=e^(-4t)[sin(2t)+3cos(2t)]
->F(s)=(2/(s+4^2+4))+(3(s+4)/((s+4)^2+4))=(3s+14)/(s^2+8s+20)



Aufgabe 2.2

Berechnen Sie die Bildfunktion unter Verwendung des Integrals, welches die Laplace-Transformation definiert.

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation3.jpg)

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation4.jpg)

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation5.jpg)

















































2.2.1. f(t)=
(0; t<0)
(2; 0<t<2π)
(2cos(3t), 2π<t)

F(s)=∫f(t)e^(-stdt wobei ∫ von 0 bis ∞
=lim∫(von 0 bis 2π)2e^(-st)dt+∫(von 2π bis b)2cos(3t)e^(-st)dt
=lim(((-2/s)e^(-st))(von 0 bis 2π)+(2/(s^2+9)e^(-st)(3sin(3t)-scos(3t)))von 2π bis b)
=(-2/s)e^(-2πs)-(2/s)e^0+lim(von b bis ∞)(2/(s^2+9)(3sin(3b)e^(-sb)-scos(3b)e^(-sb)-3sin(3*2π)e^(-2πs)-scos(3*2π)e^(-2πs))
=(-2/s)e^(-2πs)-2/s-(2se^(-2πs))/(s^2+9)


2.2.2. f(t)=
(0, t<0)
(A, 0<t<3)
(Ae^(-t-3), 3<t)

F(s)=∫f(t)e^(-st)dt wobei ∫ von 0 bis ∞
=lim∫Adt+∫Ae^(-t+3)e^(-st)dt=lim∫Adt+∫Ae^(-t(s+1)+1)dt
=lim(((-A/s)e^(-st)+(-A/(s+1)e^(-t(s+1)+3))von 3 bis b
=lim((-A/s)e^(-3s)+(A/s)e^0-A/(s+1)e^(-b(s+1)+3)+A/(s+1)e^(-3(s+1)+3))
=lim((-A/s)e^(-3s)+A/s-A/(s+1)e^(-b(s+1)+3)+A/(s+1)e^(-3s)
=(-A/s)e^(-3s)+A/s+A/(s+1)e^(-3s)


Aufgabe 2.3

Transformieren Sie mit der Tabelle der Laplace-Korrespondenzen vom Bild- in den Zeitbereich. Falls nötig, zerlegen Sie die Ausdrücke zunächst in Partialbrüche

2.3.1. F(s)=1/(s+2) I L^(-1) (..) -> f(t)=e^(-2t)
2.3.2. F(s)=5/(s+2) I L^(-1) (..) -> f(t)=5e^(-2t)
2.3.3. F(s)=2/(s^2-4)
2/(s^2-4)=A/(s+2)+B/(s-2)
2/(s^2-4)=(A(s-2)+B(s+2))/((s+2)(s-2))
Zählervergleich: 2=A(s-2)+B(s+2)

1. Weg: Nullstellen einsetzen:
s=2->2=4B
s=-2->-4A

2. Weg: Koeffizientenvergleich:
s1:0=A+B
s0: 2=-2A+2B
A=-1/2; B=1/2
F(s)=(-1/2)1/(s+2)+(1/2)1/(s-2) I L^(-1)(..)
f(t)=1/2(e^(2t)-e^(-2t))
f(t)=sinh(2t)

2.3.4. F(s)=2/(s^2+4) I L^(-1) (..) -> f(t)=sin(2t)
2.3.5. F(s)=s/(s^2+4) I L^(-1) (..) -> f(t)=cos(2t)
2.3.6. F(s)=s/(s^2-4)
F(s)=s/(s^2-4)
s/(s^2-4)=A/(s+2)+B/(s-2)
s/(s^2-4)=((A(s-2)+B(s+2)))/(s+2)(s-2)
Zählervergleich: s=A(s-2)+B(s+2)
1. Weg: Nullstellen einsetzen:
s=2->2=4B
s=-2->-2=-4B
2. Weg: Koeffizientenvergleich:
s1:1=A+B
s0:0=-2A+2B
A=1/2; B=1/2
F(s)=1/2, 1/(s+2)+1/2, 1/(s-2) I L^(-1) (..)
f(t)=1/2(e^(2t)+e^(-2t)
f(t)=cosh(2t)

2.3.7. F(s)=1/(s+2)^2
F(s)=1/(s+2)^2 I L^(-1) (..) Dämpfungsregel
f(t)=te^(-2t)







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