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Tutorium Mathematik 3
Beispielklausur - Lösungen
1. Berechnen Sie das zweifache Integral über das rechteckige Gebiet G mit  xє[1;2]yє[0;π] ∫∫x*sin(y)dxdy Lösung: 3 2. Gegeben ist die Funktion y(t) = e^2t im Intervall [0; 0,5]. 2.1 Berechnen Sie den integralen Mittelwert in diesem Intervall! Lösung:  y_=e-1≈ 1,72 Denken Sie sich diese Funktion periodisch mit T = 0,5 fortgesetzt und bestimmen Sie für diesen Fall den Effektivwert.  Lösung: yeff=√(1/2(e^2-1))≈1,79 3. Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe des λ -Ansatzes und einem geeigneten Ansatz für die partikuläre Lösung : y’’ + 10y’ + 34y = sin(x)  Lösung: y=e^(-5x)(AcosBx)+Bsin(3x))-0,00841cosx+0,027-6sinx 4. Aufgabe: Laplace - Transformation 4.1. Transformieren Sie unter Verwendung von Korrespondenztabellen folgende Funktionen vom Zeit- in den Bildbereich: a) f(t) = 4e^ -t b) f(t) = t*e^ -5t c) f(t) = 5cos (8t) Lösung:  Lösung: a) F(s)=4/(s+1) b) F(s)=1/(s+5)^2 c) F(s)=5s/(s^2+64) 4.2. Transformieren Sie unter Verwendung von Korrespondenztabellen die Bildfunktionen in den Zeitbereich:  d) F(s)=5/(s^2+9) e) F(s)=8/(s^2+4s+53) f) F(s)=5/(s-5)^3 4.3. Lösen Sie die nachfolgende Anfangswertaufgabe mit Hilfe der Laplacetransformation :  x..+5x.+6x=t x(0)=1; x.(0)=2 Lösung: x(t)=1/36(-5Ѳ(t)+6t+189e^(-2t)-148e^(-3t)) 5. Man löse die inhomogene Differentialgleichung mittels Variation der Konstanten: y' - 2y = x* e ^ 2x  Lösung: y=(1/2x^2+c)e^(2x) 6. Fourier - Reihen 6.1. Gegeben sind 3 Funktionen y = f(t) mit der Periodendauer T = 2π durch einen nur im Intervall [-π; π] zutreffenden Ausdruck. Fertigen Sie von allen drei Funktionen eine Skizze für den Bereich t ∈ [-3π ; 3π ] an : a) y = | t |+ t in [-π ; π ] T = 2π  b) y = t^2 in [-π ; π ] T = 2π  c) y = sin (t/2) in [-π ; π ] T = 2π  6.2. Bestimmen Sie für alle drei Funktionen den Gleichanteil a0/2 und tragen ihn in die Tabelle ein. Untersuchen Sie, ob die Koeffizienten der reellen Fourierreihe an (cos - Anteile) bzw. bn (sin - Anteile) Null sind, und vermerken das in der nachfolgenden Tabelle durch ja oder nein.  6.3. Berechnen Sie für die unter a) gegebene Funktion die Koeffizienten a2 und b2 der reellen Fourierreihe für die 2. Harmonische (n = 2). Berechnen Sie aus a2 und b2 auch die Koeffizienten A2 und φ2 des Amplituden- und Phasenspektrums. Lösung: a2 = 0;b2 = -1 A2 = 1;φ2 = π |
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