Tutorium Elektrotechnik 3
Teil 1: Wiederholung zu komplexen Zahlen - Lösungen
| 1.1 Darstellungsformen |
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Die Darstellung von komplexen Zahlen kann für die Elektrotechnik in 3 Formen klassifziert werden:
arithmetische Form: z=a+jb --> Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren --> Darstellung von Schaltungen mit komplexen Widerständen trigonometrische Form: z=Betrag von z*(cosℓ+- j*sinℓ) Diese Form dient der Koppelung, um Wechselsignale mit Sinus- oder Kosinusform einzubringen bzw. Ströme und Spannungen in dieser Form darzustellen Exponentialform: z=Betrag von z*e^(+-j*ℓ) --> Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren, Radizieren --> Darstellung von komplexen Strömen, Spannungen und Widerständen --> Anwendung des ohmschen Gesetzes |
| 1.2 Umformungen |
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Arithmetische Form --> Expontentialform, trigonometrische Form
Exponentialform --> trigonometrische Form
Trigonometrische Form --> arithmetische Form
Eine graphische Darstellung von komplexen Zahlen ist ebenfalls möglich. Hierbei muss man sich die Gauÿ'sche Zahlenebene zu Hilfe machen.(siehe Tafel) |
| 1.3 Addition (arithmetische Form) |
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z1+z2=a1+jb1+a2+jb2=(a1+a2)+j*(b1+b2) Aufgabe 1: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen z1 = 3 + 4j z2 = 2 + 8j z3 = 4 - 7j z4 = 8 - 3j Bitte ermitteln Sie folgende Ausdrücke: z1+z2, z2+z3, z3+z4 a) arithmetisch b) graphisch Lösung: a) z1+z2=5+12j z2+z3=6+1j z3+z4=12-10j |
| 1.4 Subtraktion (arithmetische Form) |
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z1 - z2 = (a1+jb1) - (a2+jb2) = (a1-a2)+j * (b1-b2) Aufgabe 2: Gegeben sind die komplexen Zahlen aus Aufgabe 1. Bitte ermitteln Sie folgende Ausdrücke: z1-z2, z2-z3, z3-z4 a) arithmetisch b) graphisch Lösung: a) z1-z2=1-4j z2-z3=-2+15j z3-z4=-4-4j |
| 1.5 Multiplikation (arithmetische Form) |
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z1*z2 = (a1+ jb1) * (a2 + jb2)=a1a2 + ja1b2 + ja2b1+ j^2b1b2 = a1a2 - b1b2 + j(a1b1 + a2b1) Aufgabe 3: Gegeben sind die komplexen Zahlen aus Aufgabe 1. Bitte ermitteln sie arithmetisch folgende Ausdrücke: z1*z2, z2*z3, z3*z4 Lösung: a) z1*z2=-26+32j z2*z3=64+18j z3*z4=11-68j |
| 1.6 Division (arithmetische Form) |
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Wichtiger Hinweis : Um eine arithmetische Division durchzuführen müssen Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen erweitert werden. z=a+-jb -><-z*=a=/jb z1z2 =(a1+jb1)/(a2+jb2)=(a1+jb1)/(a2+jb2)*(a2-jb2)/(a2-jb2)=(a1a2-ja1b2+ja2b1+b1b2)/(a2^2+b2^2) Aufgabe 4: Gegeben sind die komplexen Zahlen aus Aufgabe 1. Bitte ermitteln Sie arithmetisch folgende Ausdrücke: z1:z2, z2:z3, z3:z4 Lösung: a) z1/z2=19/34-4/17j z2/z3=-48/65+46/65j z3/z4=53/75-44/75j |
| 1.7 Multiplikation (Exponentialform) |
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z1*z2=Betrag von z1* Betrag von z2*e^(j(ℓ1+ℓ2)) Aufgabe 5: a) Bilden Sie die Exponentialform von den Ausdrücken aus Aufgabe 1. b) Multiplizieren Sie mit Hilfe der Exponentialschreibweise. c) Bilden Sie die arithmetische Form der Ergebnisse und geben Sie den Real- und den Imaginärteil. Lösung: z1*z2 a) z1=5*e^(j*53,13Grad) z2=√68*e^(j*75,96Grad) b) z1*z2=41,2311*e^(j*129,09Grad) c) Re{z1*z2}=-26 Im{z1*z2}=-32 z2*z3 a) z3=√65*e^(-j*60,26Grad) z2=√68*e^(j*75,96Grad) b) z2*z3=66,4831*e^(j*15,7Grad) c) Re{z2*z3}=64 Im{z2*z3}=18 z3*z4 a) z3=√65*e^(-j*60,26Grad) z4=√73*e^(-j*20,56Grad) b) z3*z4=68,8840*e^(-j*80,82Grad) c) Re{z3*z4}=11 Im{z3*z4}=-68 |
| 1.8 Division (Exponentialform) |
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z1z2=Betrag von z1/Betrag von z2*e^(j*(ℓ1-ℓ2)) Aufgabe 6: a) Bilden Sie die Exponentialform von den Ausdrücken aus Aufgabe 1. b) Dividieren Sie mit Hilfe der Exponentialschreibweise. c) Bilden Sie die arithmetische Form der Ergebnisse und geben Sie den Real- und den Imaginärteil an. Lösung: z1/z2 a) siehe Aufgabe 5a) b) z1/z2=0,6063*e^(-j*22,83Grad) c) Re{z1*z2}=0,56 Im{z1*z2}=-0,24 z2/z3 a) siehe Aufgabe 5a) b) z2/z3=1,0228*e^(j*136,22Grad) c) Re{z2/z3}=-0,74 Im{z2/z3}=0,71 z3/z4 a) siehe Aufgabe 5a) b) z3/z4=0,94*e^(-j*39,7Grad) c) Re{z3:z4}=0,72 Im{z3:z4}=0,6 |
| 1.9 Potenzieren (Exponentialform) |
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z^n=(Betrag von z*e^(jℓ)^n*e^(jℓn) Wichtiger Hinweis : Beim Potenzieren mit kann es im Argument zu Winkeln kommen, die gröÿer als 360 Grad sind. Solche Winkel signalisieren einen oder mehrere Umläufe des Zeigers in der komplexen Ebene. Um einen Winkel im Bereich zwischen 0 Grad und 360 Grad zu erhalten, muss mit einem vielfachen von 360 Grad addiert bzw. subtrahiert werden. Aufgabe 7: Berechnen Sie bitte folgende Ausdrücke und geben Sie die Ergebnisse in arithmetischer, trigonometrischer und in Exponentialform an. a) z1^7, b) z2^-10, c) z3^15, d) z4^-16 Lösung: a) (z1)^7=5^7*e^(j*11,91Grad) b) (z2)^-10=68^-5*e^(j*320,4Grad) c) (z3)^-15=65^15/2*e^(j*176,1Grad) d) (z4)^-16=73^-8*e^(j*328,96Grad) |
| 1.10 Radizieren (Exponentialform) |
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n√z=(Betrag von z*e^(jℓ+k360Grad)^1/n=(Betrag von z)^1/n*e^((jℓ+k360Grad)/n) Wichtiger Hinweis : Durch da ziehen einer n-ten Wurzel, bekommt man immer n Lösungen. Im komplexen Zahlenbereich erhält man dadurch n Zeiger die alle um denselben Winkel voneinander entfernt sind. Die Lösungen lassen sich durch die Addition mit dem k-fachen von 360 Grad im Argument ermitteln. Hierbei gilt: k Element von Z, k=n-1, k=0, 1, 2, 3 Aufgabe 8: Berechnen Sie bitte folgende Ausdrücke und geben Sie die Ergebnisse in arithmetischer, trigonometrischer und in Exponentialform an. a) 7√z1, b)4√z3 Lösung: a) 7√z1=7√5*e^(j*7,59Grad)=w0 w1=7√5*e^(j*59,02Grad) w2=7√5*e^(j*110,45Grad) w3=7√5*e^(j*161,88Grad) w4=7√5*e^(j*213,30Grad) w5=7√5*e^(j*264,73Grad) w6=7√5*e^(j*316,16Grad) b) 4√z3=8√65*e^(-j*15,06Grad)=w0 w1=8√65*e^(j*74,94Grad) w2=8√65*e^(j*164,94Grad) w3=8√65*e^(j*254,94Grad) |
| 1.11 Zusammenfassung |
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z = a + jb z=Betrag von z*(cosℓ+jsinℓ) z=(Betrag von z)e^(jℓ) Re{z}=a=(Betrag von z)cosℓ Im{z}=b=(Betrag von z)sinℓ Betrag von z =√(a^2+b^2) ℓ=arctan(b/a)+180Grad wenn a<0 e^(j0)=1=j^2 e^(jπ/2)=j=j^1 e^(jπ/2)=-j=j^3 sinℓ=cos(ℓ-π/2) cosℓ=sin(ℓ+π/2) sinℓ=(e^(jℓ)-e^(-jℓ))/2j cosℓ=(e^(jℓ)-e^(-jℓ))/2 |
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