Tutorium Mathematik 2
Vollständiges Differential, Fehlerrechnung - Lösungen
| 3.1 Von einem Trapez wurden die parallelen Seiten zu a = 24,25cm und b = 45,75cm gemessen. Die Höhe beträgt h = 18,50cm. Alle Längenmessungen haben einen Maximalfehler von 0,10cm. Berechnen Sie den Wert des Flächeninhaltes und den zugehörigen Maximalfehler und geben Sie beides in vernünftiger Genauigkeit an. Lösung: Flächeninhalt: A=1/2(a+b)h=1/2(24,25cm+45,75cm)*18,50cm=647,5cm^2 Maximalfehler: DeltaA=Betrag von (deltaA/delta a)Delta a + Betrag von (deltaA/delta b)Delta b + Betrag von (deltaA/delta h)Delta h DeltaA=Betrag von (1/2h)Delta a + Betrag von (1/2h)Delta b + Betrag von (1/2(a+b))Delta h DeltaA=Betrag von (1/2*18,50cm)*0,10cm+ Betrag von (1/2*18,50cm)*0,10cm+ Betrag von (1/2*(24,25cm+45,75cm))*0,10 cm DeltaA=0,925cm^2+0,925cm^2+3,5cm^2=5,35cm^2 DeltaA=rund5,4cm^2 A=(647,5+-5,4)cm^2 3.2 Von einem Keramikrohr sind folgende Angaben bekannt: Innendurchmesser d = 70,0 mm abs. Maximalfehler: 1,0 mm Außendurchmesser D = 100,0 mm abs. Maximalfehler: 1,5 mm Länge L = 1000,0 mm abs. Maximalfehler: 2,0 mm Dichte ρ = 3,95 g/cm3 rel. Maximalfehler: 0,75 % Berechnen Sie von dem Keramikrohr die Masse mit dem zugehörigen absoluten Maximalfehler. Lösung: m=p*V mit V=pi/4(D^2-d^2)*L m=pi/4(D^2-d^2)p*L m=3,95*100*pi/4(100-49)g=15,8218kg Delta m = Betrag von (delta m/deltaD)* DeltaD+ Betrag von (delta m/delta d)* Delta d + Betrag von (delta m/deltaL)+Betrag von (deltam/delta p)* Delta p (Betrag von delta m/deltaD)*DeltaD = pi/2DpLDeltaD = (pi/2)*10*3,95*100*0,15g=930,7g (Betrag von delta m/delta d)*Deltad = pi/2dLpDeltad = pi/2*7*3,95*100*0,1 = 434,3g (Delta m/delta L)*DeltaL = pi/4(D^2-d^2)pDeltaL = (1582,8/100)*0,2 = 31,6g (Delta m/delta p)*Deltap = pi/4(D^2-d^2)LDeltap = (15822/3,95)* (0,75/100)* 3,95 = 118,7g Delta m = (930,7 + 434,3 + 31,6 + 118,7)g Delta m = (15,8+-1,5)kg 3.3 Gegeben ist die Funktion z = f(x,y) = (x + 1) ln(y-2) a) Berechnen Sie den Funktionswert z an dem Punkt P(4 ;5 ). b) Geben Sie das vollständige Differential der Funktion an. c) Wie groß ist die Unsicherheit für den berechneten Wert z am Punkt P, wenn dort x und y mit einem relativen Maximalfehler von 1% bekannt sind ? Berechnen Sie dazu den absoluten und relativen Maximalfehler von z. Lösung: f(4;5) = 5ln3 = 5,493 dz = ln(y-2)dx + ((x+1)/(y-2))dy Delta z = rund Betrag von (ln(y-2))Delta x+ Betrag von (x+1/y-2)Delta y Delta z = 0,127 =rund 0,13 z= (5,49+-0,13) Delta z/z = 0,127/5,493 = rund 0,0231=rund 0,023=rund 2,3% |
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