Tutorium Mathematische Grundlagen und Analysis
Geometrische Zahlenfolgen
| Eine Zahlenfolge heißt geometrische Zahlenfolge, wenn für jede natürliche Zahl n ≥ 1 der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder stets gleich derselben reellen Zahl q ≠ 0 ist. Beispiel 1: Ein Bankkunde lässt ein Kapital von 5.000 Euro für 3 Jahre bei einem Zinssatz von 4 % auf seinem Konto. Auf wie viel Euro ist sein Kapital nach genau 3 Jahren angewachsen ? Lösung: geg.: K0 = 5.000 Euro i = 0,04 n = 3 Kapital nach einem Jahr: K1 = 5.000 + (5000*4)/100 = 5.000 + 200 = 5.200 Euro Kapital nach zwei Jahren: K2 = 5.200 + (5200*4)/100 = 5.000 + 208 = 5.408 Euro Kapital nach drei Jahren: K3 = 5.408 + (5408*4)/100 = 5.408 + 216,32 = 5.624,32 Euro Auf die obige Art und Weise auch für größere Laufzeiten das Endkapital zu ermitteln, erfordert unverhältnismäßig hohen Aufwand. Es gibt auch eine einfache Formel für die Berechnung von Zinseszinsen bei einem Anfangskapital : (siehe Kapital Zinsrechnung) Kn = K0*q^n K3 = 5000*1,04^3= 5.624,32 Euro Es entsteht eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied a1=K0 und dem Quotienten q = (1 +p/100)^n (Aufzinsfaktor genannt). |
| Geometrische Zahlenfolge Beispiel 2 Bsp.: Durch Kernzerfall verringert sich die Masse des radioaktiven Isotops Iod 131 pro Tag um 9,5 %. Das heißt: Die an einem bestimmten Tag vorhandene Masse beträgt jeweils 90,5 % der Masse des Vortags. a) Welche Masse an Iod 131 ist nach 1 Tag, nach 2,3,4 bzw. 5 Tagen von ursprünglich 1000 mg vorhanden? b) Der Zerfallsprozess lässt sich durch eine geometrische Folge beschreiben. Die rekursive und die explizite Darstellung ist anzugeben. c) Nach wie viel Tagen ist aufgrund des Kernzerfalls nur noch die Hälfte der Ursprungsmasse vorhanden? Lösung: explizite Bildungsvorschrift: an = a1*q^(n-1) rekursive Bildungsvorschrift: an+1=an*q a) a1=1000mg-> a2=90,5% von a1=905mg a2 = 905 mg a3 = 819 mg a4 = 741,2 mg a5 = 670, 8 mg b) Mit a1 = 1.000 mg und q = 0,905 erhält man die • explizite Bildungsvorschrift an+1=an*0,905 • rekursive Bildungsvorschrift an=1000*0,905^(n-1) c) Zu bestimmen ist n für a1/2 aus a1/2 =a1*q^(n-1) folgt nach Division mit a1 (a1/2)/a1=a1/2*1/a1=1/2 1/2=q^(n-1) und Logarithmieren ln1/2=(n-1) ln q (ln1/2)lnq=n-1 (ln1/2)/ln 0,905=n-1 n-1 = 7 n = 8 Etwa nach 8 Tagen ist die Ausgangsmasse auf die Hälfte zerfallen. Mit anderen Worten: Die Halbwertszeit von Iod 131 beträgt 8 Tage. |
| Geometrische Zahlenfolge Beispiel 3 Bsp.: Die Halbwertszeit von Iod I-131 beträgt 8,0 Tage. (Die Halbwertszeit gibt die Zeitspanne an, in der jeweils die Hälfte der vorhandenen Masse zerfällt.) a) Wie viel ist von 10g I-131 nach 80 Tagen übrig? b) Nach welcher Zeit sind von 10g I-131 noch 5mg vorhanden? a) geg.: a1=10 q=0,5 ges.: an Lsg.: 80 Tage : 8 Tage = 10 → I-131 muss 10 mal zerfallen Die nach 80 Tagen noch vorhandene Masse ist dann das Glied n = 11 a11=a1*q^(n-1) 10*0,5^(11-1) = 0,009766 g = rund 9,8 mg b) geg.: an=5mg=0,005g a1=10g ges.: n Lsg: q^(n-1)=an/a1 (n-l)ln q=ln(an/a1) n-l=ln(an/a1)/lnq=10,97 n = 11.97 |
