Tutorium Mathematische Grundlagen und Analysis
Extremwertberechnung
| Aufgaben Bsp.: 1 Gesucht ist das Maximum der Produktionsfunktion x(r1,r2)=2*r1*r2 unter der Bedingung, dass für den Einkauf der beiden Produktionsfaktoren genau 400 GE zur Verfügung stehen. Die Faktorpreise liegen dabei bei • 10 GE für eine ME von r1 • 20 GE für eine ME von r2 Bsp.: 2 Ein Unternehmen arbeitet bei der Herstellung zweier Güter mit der Gewinnfunktion G(x,y) = 16x + 10y + 2xy-4x^2-2y^2-20 Dabei ist eine Kapazitätsrestriktion der Form x+y = 4 zu beachten. Man bestimmt das Gewinnmaximum. Bsp.: 3 Eine Molkerei produziert Frischmilch mit zwei Geschmacksrichtungen. Dabei gilt die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 15.000 - 3.000x für die Geschmacksrichtung 1 und p(y) = 4.000 - 200y für die Geschmacksrichtung 2. Insgesamt kann die Molkerei am Tag 10 Hektoliter Fruchtmilch herstellen und absetzen. Welche Mengen müssen von jeder Geschmacksrichtung hergestellt und abgesetzt werden, um den Tagesumsatz zu maximieren? |
| Lösungen zu Bsp.:1 geg.: Zielfunktion x(r1,r2)=2*r1*r2 Nebenbedingung: 10r1+20r2=400 -> Nebenbedingung null setzen und mit λ multiplizieren 10r1λ+20r2λ-400λ=0 -> Lagrange - Funktion bilden, indem die Zielfunktion mit der Nebenbedingung addiert wird x(r1,r2,λ)=2*r1*r2+10r1λ+20r2λ-400λ ->partielle Ableitungen bilden I. xr1=2r2+10λ II. xr2= 2r2+20λ III. xλ= 10r1+20r2-400 -> Gleichungen lösen I. nach r2 auflösen 2r2+10λ=0 2r2=-10λ r2=-5λ II. nach r1 auflösen 2r1+20λ=0 2r1=20λ r1=-10λ r1 und r2 in III einsetzen 10(-10λ)+20(-5λ)-400=0 -100λ-100λ-400=0 -200λ=400 λ=-2 r2=-5λ =-5*-2 =10 r1=-10λ =-10*-2 =20 Werden vom ersten Produktionsfaktor r1 20 ME und vom zweiten Produktionsfaktor r2 10 ME eingesetzt, dann wird das zur Verfügung stehende Budget vollständig verbraucht und dabei der maximale Output von x = 400 realisiert. zu Bsp.: 2 geg.: G(x,y) = 16x+10y+2xy-4x^2-2y^2-20->max! unter der Bedingung x+y=4 xλ+yλ-4λ=0 Lagrange-Funktion: G(x,y,λ)=16x+10y+2xy-4x^2-2y^2-20+xλ+yλ-4λ I. Gx=16+2y-8x+λ II. Gy=10+2x-4y+λ III. Gλ=x+y-4 III nach x auflösen x+y-4=0 x=4-y x in II einsetzen und umformen nach λ 10+2(4-y)-4y+λ=0 10+8-2y-4y+λ=0 18-6y+λ=0 λ=6y-18 x und λ in I einsetzen 16+2y-8(4-y)-18+6y=0 16+2y-32+8y-18+6y=0 16y=34 y= 17/8 λ=-18+6*(17/8)=21/4 x=4-(17/8)=15/8 G(x,y)=129/8 Stellt das Unternehmen vom ersten Gut x = 15/8 ME und vom zweiten Gut y = 17/8 ME her, dann schöpft es die zur Verfügung stehenden Kapazitäten vollständig aus und erzielt einen Gewinn von G = 129/8 GE. zu Bsp.: 3 geg.: p(x) = 15.000 - 3.000x p(y) = 4.000 - 200y Nebenbedingung: x+y = 10 Man erhält folgende Preis-Absatz-Funktion für den Tagesumsatz: E(x,y)=x*p(x)+y*p(y) =x*(15.000-3000x)+y*(4000-200y) =-3000x^2+15.000x-200y^2+4000y->max! unter der Bedingung x+y=10 xλ+yλ-10λ=0 Lagrange-Funktion: P(x,yλ)=-3000x^2+15.000x-200y^2+4000y+xλ+yλ-10λ I. Px=15.000-6000x+λ II. Py=4000-400y+λ III. Pλ=x+y-10 I nach x auflösen 15.000-6000x+λ=0 -6000x=-15.000-λ x=2,5+(1/6000)λ II nach y auflösen 4000-400y+λ=0 4000+λ=400y 10+(1/400)λ=y x und y in III einsetzen 2,5 + 1/6000λ+10+1/400λ-10=0 1/375λ=-2,5 λ=-1875/2 x=2,5+1/6000*-1875/2=75/32 y=10+1/400*1875/2=245/32 |
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