Tutorium Mathematik 3
Lineare Inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten - Lösungen
| 1.4 Lineare inhomogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Aufgabe 1.4.1  a) Unter welcher Bedingung beschreibt die zugehörige homogene DGL eine ungedämpfte Schwingung wenn a > 0 bekannt ist ? Die charakteristische Gleichung mit ihren Lösungen lautet:  Die zugehörige homogene DGL beschreibt eine ungedämpfte Schwingung für den Fall, dass die Lösung ihrer charakteristischen Gleichung rein imaginäre konjugiert komplexe λ enthält. Dies ist der Fall wenn sowohl b = 0 ist (es liegt dann keine 1. Ableitung von y vor) als auch c dasselbe Vorzeichen wie a hat, also c > 0 ist b = 0 und c > 0 b) Unter welcher Bedingung beschreibt die zugehörige homogene DGL eine gedämpfte Schwingung wenn a > 0 bekannt ist? Auch hier müssen die Lösungen der charakteristischen Gleichung konjugiert komplexe λ – Werte sein, was unter der Wurzel einen negativen Ausdruck erfordert. Außerdem muss der Realteil negativ sein, was wegen a > 0 auch b > 0 erfordert.  c) Lösen Sie die DGL für den Fall a = 2, b = 16, c = 30 und y(0) = 2, y°(0) = 5  homogene Lösung:  partikuläre Lösung:    = allgemeine Lösung  nach Lösung des LGS:  = spezielle Lösung d) Unter welchen Bedingungen würde man bei der inhomogenen DGL ay°° + by° + cy = 3e^(-2t) von „mathematischer Resonanz“ sprechen? Man spricht von „mathematischer Resonanz“, wenn dieStörfunktion S (x) selbst eine Lösung der zugehörigen homogenen DGL ist. Eine Teillösung der zugehörigen homogenen DGL muss also eine ebensolche Exponentialfunktion mit dem Koeffizienten α = − 2 im Exponent sein. Das ist der Fall, wenn die charakteristische Gleichung mindestens eine reelle Lösung λ1 = −2 aufweist. Damit lässt sich die charakteristische Gleichung inder Produktform aufschreiben nd in die Summenform bringen und dann mit der zug.hom. DGL vergleichen:  Vergleich mit charakteristischer Gleichung liefert:  Auflösen nach und Gleichsetzen liefert schließlich: 4a + c = 2b Unter der Bedingung 4a + c = 2b wird sich also stets (mindestens) ein λ = −2 ergeben, so dass die Störfunktion S (x) = 3e^(-2t) zu mathematischer Resonanz führt. e) Finden Sie eine allgemeine Lösung für den Fall a = 1, b = 5 und c = 6 homogene Lösung:  partikuläre Lösung: Es tritt Resonanz auf; 2 ist eine einfache Nullstelle im Lambda - Ansatz!  yp, y°p, y°°p in DGL:   = allgemeine Lösung f) Finden Sie die spezielle Lösung für den Fall a = 1, b = 4, c = 4 und y(0) = 2, y°(0) = 5 homogene Lösung:  partikuläre Lösung: Es tritt Resonanz auf; -2 ist eine doppelte Nullstelle im Lambda - Ansatz!  yp, y°p, y°°p in DGL:   = allgemeine Lösung   = spezielle Lösung Aufgabe 1.4.2  homogene Lösung:  partikuläre Lösung:  yp, y°°p in DGL:  Koeffizientenvergleich: sin(3x) = 0 = -13b --> b = 0 cos(3x) = 5 = -13a --> a = -5/13  = allgemeine Lösung a) Anfangswerte:y(0) = 2, y'(0) = -3  Lösung des LGS:  = spezielle Lösung b) Anfangswerte:y(0) = y'(0) = 0  Lösung des LGS:  = spezielle Lösung Aufgabe 1.4.4  homogene Lösung:  partikuläre Lösung:   Koeffizientenvergleich: t²: 3 = 21a --> a = 1/7 t: 0 = 20a + 21b --> b = -20/147 t^0: 0 = 2a + 10b +21c --> c = -158/3087 e^-2t: 4 = 5d --> d = 4/5  x = xh + xp allgemeine Lösung:  Anfangsbedingungen:  Lösung des LGS: C1 = -19/18 C2 = 701/3430 spezielle Lösung:  |
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