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Tutorium Mathematik 3
Trennen der Variablen - Lösungen
| Aufgabe 1.2.1 y'=(2+sin(x)/(3+4y) y'=(2+sin(x))/(3+4y) dy/dx=(2+sin(x)/(3+4y) dy/dx=(2+sin(x)/(3+4y) (3+4y)dy=(2+sin(x))dx I ∫(...) ∫(3+4y)dy=∫(2+sin(x))dx 3y+2y^2=2x-cos(x)+K 0=2y^2+3y-2x+cos(x)-K 0=y^2+3/2y-x+1/2cos(x)-1/2K y1,2=-3/4+-√(9/16+x-1/2cos(x)+1/2K) mit K~=9/16+1/2K y1,2=-3/4+-√(K~+x-1/2cos(x)) Das Vorzeichen + oder - ergibt sich erst beim Einsetzen von Anfangsbedingungen eindeutig. Aufgabe 1.2.2 x.=(e^(-3t))/(x+2); x(0)=2 dx/dt=(e^(-3t))/(x+2) (x+2)dx=e^(-3t)dt I ∫(...) ∫(x+2)dx=∫e^(-3t)dt 1/2x^2+2x=-1/3e^(-3t)+K 0=x^2+4x+2/3e^(-3t)-2K x1,2=-2+-√(4-2/3e^(-3t)+2K) mit K^=2K+4 x1,2=-2+-√(K^-2/3e^(-2t)) Da x(0)=2>-2, muss für spezielle Lösung "+" voranstehen: x(0)=-2+√(K^-2/3e^(-3t))=2 √(K^-2/3e^(-3t))=4 K^-2/3e^(-3t)=16 K^=16+2/3=50/3 x=x(t)=-2+√(50/3-2/3e^(-3t)) (spezielle Lösung) |
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