Vorlesungsskript Physik II

<h4 id="mathematische beschreibung">1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:</a>@@ ---- **Zur mathematischen Beschreibung** von Wellen sind mehrere Größen nötig. Dazu zählen unter anderem __Amplitude__, __Phase__, __Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit__ und auch die __Wellenzahl k__. ---- {{image url="EbeneWelle1.jpg" text="Ebene Welle" alt="Ebene Welle" width="400"}}>>**Die in Schwingung versetzte Membran** erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet. Die an x = 0 erzeugte **Erregerschwingung:** u (x=0, t) = u₀*sin (ω*t + φ₀), kommt am Ort x₁ mit einer __Verzögerung von Δt__ an. Daraus können wir für die __Ausbreitungsgeschwindigkeit c__ folgern: c = x/Δt, → Δt = x/c → u (x,t) = u₀*sin (ω*(t - Δt) + φ₀), mit Δt = x/c ⇒ **u (x,t) = u₀*sin (ω*t - (ω*x / c) + φ₀)**>> [Abbildung 4] ::c:: ===__Einführung der Wellenzahl k:__=== ||**Wir definieren:** die Wellenzahl k = 2 π / λ|| → λ = 2 π / k mit ω = 2 π * f , (das wir umstellen zu f = ω / 2 π) und c = λ * f erhalten wir: c = (2π / k) * (ω / 2π) → c = ω / k umgestellt ergibt sich also für die Wellenzahl k = ω / c. daraus folgt für die __allgemeine Wellengleichung__ in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t: >>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}} **__{{color text="Wichtig:" c="red"}}__** ist die {{color text="Wellenzah k" c="green"}} in der Wellengleichung: - **negativ**, so verläuft die Welle nach **→** - **positiv**, so verläuft die Welle nach **←**>> **u(x,t) = u₀*sin (ω*t {{color text="- k" c="green"}}*x + φ₀) ** ::c:: ---- **__2. Beispiel:__** Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 π * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + π / 6) beschrieben. __Gesucht:__ Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit c __Gegeben:__ u(x,t) = 30mm * sin (2 π * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + π / 6) → u(x,t) = 30mm * sin (2 π* t / 0.3s) - (2 π* x / 0.1m) + π / 6) Vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = u₀*sin (ω*t - k*x + φ₀), sehen wir: - u₀ = 30mm - ω = 2π / T = 2π / 0.3s → T = 0.3s - k = 2π / λ = 2π / 0.1m → λ = 0.1m - φ = π / 6 Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = λ / T ist, ⇒ c = 0.1m / 0.3s = __0.333m/s__ ---- ===__Herleitung der Differentialgleichung einer 1-Dimensionalen Welle:__=== Wir wollen die **Differentialgleichung einer eindimensionalen Welle** herleiten und beginnen mit der allgemeinen Wellengleichung, die sich aus folgenden Komponenten zusammensetzt: - u₀ = Amplitude - ω = Kreisfrequenz - k = Wellenzahl - φ = Anfangsphase → u(x,t) = u₀*sin (ω*t - k*x + φ₀) Nun leiten wir diese allgemeine Wellengleichung u({{color text="x" c="red"}},t) nach dem {{color text="Ort x" c="red"}} partiell ab, was mathematisch korrekt in dieser Weise dargestellt wird: **∂u/∂x.** >>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}} **__Kleiner Ableitungshelfer:__** __Die Variable__ nach der abgeleitet wird ist in {{color text="rot" c="red"}} und alle Werte die sich durch die jeweilige __Ableitung geändert__ haben, sind in **{{color text="grün" c="green"}}** dargestellt>> → ∂u/∂x = u₀*{{color text="cos" c="green"}} (ω*t - k*{{color text="x" c="red"}} + φ₀) * {{color text="(- k)" c="green"}} Die zweite Ableitung **∂²u/∂x²** lautet dann: ∂²u/∂x² = u₀*{{color text="- sin" c="green"}} ((ω*t - k*{{color text="x" c="red"}} + φ₀) * {{color text="(- k)" c="green"}} * {{color text="(- k)" c="green"}} ::c:: → __∂²u/∂x² = - k²*u₀ *sin (ω*t - k*{{color text="x" c="red"}} + φ₀)__ Als nächstes leiten wir die allgemeine Wellengleichung u(x,{{color text="t" c="red"}}) nach der {{color text="Zeit t" c="red"}} partiell ab, also: **∂u/∂t.** → ∂u/∂x = u₀*{{color text="cos" c="green"}} (ω*{{color text="t" c="red"}} - k*x + φ₀) * {{color text="(" c="green"}}ω{{color text=")" c="green"}} Die zweite Ableitung **∂²u/∂t²** lautet dann: ∂²u/∂t² = u₀*{{color text="- sin" c="green"}} (ω*{{color text="t" c="red"}} - k*x + φ₀) * {{color text="(" c="green"}}ω{{color text=")" c="green"}} * {{color text="(" c="green"}}ω{{color text=")" c="green"}} → __∂²u/∂t² = - ω² u₀*sin (ω*{{color text="t" c="red"}} - k*x + φ₀)__ Als letzten Schritt verbinden wir die beiden __partiellen Ableitungen__ **∂²u/∂x²** und **∂²u/∂t²** in dem wir sie: -**__1. Umstellen:__** ∂²u/∂x² = - k²*u₀ *sin (ω*t - k*x + φ₀) ⇒ __∂²u/∂x² = 1 / k²__ ∂²u/∂t² = - ω² u₀*sin (ω*t - k*x + φ₀) ⇒ __∂²u/∂t² = 1 / ω²__ -**__2. Gleichsetzen:__** ∂²u/∂x² = 1 / k² = ∂²u/∂t² = 1 / ω² → ∂²u/∂x² = (k² / ω²) * ∂²u/∂t² mit **k = ω/c** erhalten wir: ∂²u/∂x² = (ω² / c²*ω²) * ∂²u/∂t² **⇒** Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: __**∂²u/∂x² = ( 1 / c²) * ∂²u/∂t²**__ ---- ---- @@==1.2 Interferenz==@@ ---- ===__Konstruktive und Destruktive Interferenz:__=== >>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}} __**Superposition**__ bedeutet in der Wellenlehre die ungestörte Überlagerung (Interferenz) mehrerer Wellen des gleichen Typs. Die relevante Größe der Überlagerung ist die Amplitude u (Höhe) der einzelnen Wellen. So können sich beispielsweise mehrere Wasserwellen oder mehrere elektromagnetische Wellen gegenseitig überlagern.>> **Von Interferenz** spricht man, wenn zwei oder mehr Wellen aufeinenander treffen, sich durchdringen und interferieren, also sich überlagern (siehe Abbildung 5). Diese Überlagerung kann man durch das sogenannte **__Superpositionsprinzip__** beschreiben. {{image url="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif" text="Abbildung 5" alt="Abbildung 5" width="330"}} [Abbildung 5, "stehende Welle"; Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif] ::c:: ---- **__Beispiel 3:__** __Anwendung des Superpositionsprinzipes:__ Überlagerung von zwei 1-dimensionalen Wellen mit folgenden Eigenschaften: - gleiche Amplitude u - gleiche Frequenz f₁ = f₂ - gleiche Wellenlänge und Wellenzahl, also ω₁ = ω₂ und k₁ = k₂ - feste Phasenbeziehung Δφ = const. ⇒ Δ ω = 0, Δ k = 0 → Dadurch entsteht eine neue Wellengleichung für diese beiden interferierenden Wellen: u(x,t) = 2*u₀*cos (Δφ/2)*sin (ω*t - k*x + φ) Die effiktive Amplitude **A_eff = 2*u₀*cos (Δφ/2)** bewegt sich hier also im Bereich von **0....2u₀**! **__Anwendung der Superposition:__** {{image url="Interferenz1.gif" title="Abbildung 6" alt="Abbildung 6" width="450"}}>> **In der Abbildung 6** interferieren zwei eindimensionale Wellen **{{color text="u1" c="green"}}** und **{{color text="u2" c="blue"}}** mit den oben beschriebenen Eigenschaften. Hierbei werden an verschiedenen beliebigen Punkten der x-Achse die __**beiden Amplituden der Wellen** **{{color text="mit Vorzeichen" c="red"}}**__ addiert. Verbindet man diese Punkte miteinander entsteht dadurch eine neue Welle: in unserem Beispiel ist dies die Welle {{color text="u12" c="red"}}. Diese Addition der Amplituden der einzelnen Wellen nennt man __Superposition.__ >> [Abbildung 6]::c:: ---- **Bei der Überlagerung von Wellen** können natürlich fast unendliche viele Möglichkeiten entstehen; nämlich je nachdem wie die Wellen aufeinander treffen, welche Frequenz sie haben ob die Phasendifferenz variiert usw. Je nach Konstellation verhalten sich die beiden aufeinander treffenden Wellen, und die dadruch entstehende Welle, anders. Dementsprechend können nun verschiedene Fälle je nach Wellenabschnitt eintreten: Die Wellen können sich gegenseitig: - verstärken, - abschwächen - oder sogar auslöschen. Dabei treten zwei bemerkenswerte Grenzfälle auf: -**__Grenzfall 1: Destruktive Interferenz (Auslöschung):__** Damit eine __destruktive Interferenz__ eintreten kann, muss die Effektive Amplitude der beiden Wellen A_eff = 0 sein (siehe Abbildung 7). Wenn wir uns die allgemeine Wellengleichung für zwei interferierende Wellen, gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung ansehen u(x,t) = 2*u₀*cos (Δφ/2)*sin (ω*t - k*x + φ) bedeutet das: → cos (Δφ/2) = 0 → Δφ/2 = (π/2) **⇒ für die Phasendifferenz Δ φ = π**, und dementsprechend auch alle anderen **__ungeradzahligen Vielfachen__** von π: **±3π, ±5π, ±7π,...** __Ist dies der Fall, entsteht durch die Wellen {{color text="u1" c="green"}} und {{color text="u2" c="blue"}} folgende Welle {{color text="u12" c="red"}}:__ {{image url="InterferenzDestruktiv.gif" title="Abbildung 7" alt="Abbildung 7" width="450"}} [Abbildung 7] ---- -**__Grenzfall 2: Konstruktive Interferenz (Verstärkung):__** Damit eine __konstruktive Interferenz__ eintreten kann, muss die Effiktive Amplitude der beiden Wellen A_eff = 2u₀ sein (siehe Abbildung 8). Auch hier betrachten wir die allgemeine Wellengleichung zwei interferierender Wellen, gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und fester Phasenbeziehung und stellen fest, dass aus A_eff = 2u₀ folgt: → cos (Δφ/2) = 1 → Δφ/2 = 0 **⇒ für die Phasendifferenz Δ φ = 0 **, und dementsprechend auch alle anderen **__geradzahligen Vielfachen__** von π: **±2π, ±4π, ±6π,...** __Ist dies der Fall, entsteht durch die Wellen {{color text="u1" c="green"}} und {{color text="u2" c="blue"}} folgende Welle {{color text="u12" c="red"}}:__ {{image url="InterferenzKonstruktiv.gif" title="Abbildung 8" alt="Abbildung 8" width="450"}} [Abbildung 8] ---- ---- @@==2. Elektromagnetische Wellen==@@ ---- ===__Elektromagnetische Wellen:__=== __Eine elektromagnetische Welle ist eine Welle aus **gekoppelten elektrischen** und **magnetischen Feldern**.__ Das alltägliche, vertrauteste Beispiel einer elektromagnetischen Welle ist __sichtbares Licht__. Ebenfalls eine natürliche, alltägliche Erscheinung elektromagnetischer Wellen ist die unsichtbare Wärmestrahlung, das so genannte »Infrarot«, sowie das ebenfalls unsichtbare Ultraviolett. Diese natürlich entstehenden Formen elektromagnetischer Wellen können für spezielle Zwecke auch künstlich erzeugt und technisch genutzt werden. **__Elektromagnetische Wellen sind also:__** >>{{image url="http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif" title="Aufgepasst-Smiley" alt="Aufgepasst-Smiley" width="50"}} **Der schottische Physiker James Clerk Maxwell** erarbeitete die nach ihm benannten Gleichungen von 1861 bis 1864. Er kombinierte dabei das Durchflutungsgesetz und das gaußsche Gesetz mit dem Induktionsgesetz. **__Die Maxwell-Gleichungen__** sind ein spezielles System von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Gleichungen beschreiben den __Zusammenhang von elektrischen und magnetischen Feldern mit elektrischen Ladungen__ und elektrischem Strom unter gegebenen Randbedingungen.>> → Räumlich und zeitlich periodische Änderung des elektrischen Feldes <math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> und des magnetischen Feldes <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> → <math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> und <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> sind über die **__Maxwellsche-Gleichung__** miteinander verknüpft. ⇒ Beide Größen schwingen gleichzeitig (**phasengleich**) ⇒ <math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> ⊥ <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> und <math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math>, <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> ⊥ <math><mover><mi>x</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> **→ __{{color text="Transversalwelle" c="green"}}__** __Diese Zusammenhänge sind im folgenden Graphen dargestellt:__ >> - Die Ausbreitungsrichtung entspricht der x-Achse - Das elektrische Feld <math><mover><mi>E</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> der y-Achse - und das magnetische Feld <math><mover><mi>B</mi><mo mathsize="50%">→</mo></mover></math> der z-Achse>> {{image url="http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif" title="Abbildung 9" alt="Abbildung 9" width="550"}} [Abbildung 9, Quelle: http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif] ---- ===__Das Licht:__=== __Geschichte:__ **Bis weit in die Neuzeit** hinein war weitgehend unklar, was Licht tatsächlich ist. Man glaubte teilweise, dass die Helligkeit den Raum ohne Zeitverzögerung ausfüllt, und dass "Strahlen"; von den Augen ausgehen und die Umwelt beim Sehvorgang abtasten. Es gab jedoch auch __schon seit der Antike__ Vorstellungen, nach denen das Licht von der Lichtquelle __mit endlicher Geschwindigkeit__ ausgesendet wird. {{color text="Galileo Galilei" c="blue"}} (1564 - 1642) versuchte als einer der ersten, die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts ernsthaft zu messen, jedoch ohne Erfolg. Dafür waren die ihm zur Verfügung stehenden Mittel viel zu grob. Dies gelang erst {{color text="Ole Römer" c="blue"}} anhand von Beobachtungsdaten der Jupitermonde 1676/78. Zwar betrug die Abweichung seines Messwerts vom tatsächlichen Wert (ca. 3 * 10⁸ m/s) rund 30 %, die eigentliche Leistung Römers bestand jedoch darin, nachzuweisen, dass sich das Licht mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet. Römers Messwert wurde im Laufe der folgenden 200 Jahre durch immer raffiniertere Verfahren (vor allem durch {{color text="Fizeau" c="blue"}} und {{color text="Foucault" c="blue"}}) mehr und mehr präzisiert. {{color text="James Clerk Maxwell" c="blue"}} (1831 - 1879) erkannte selbst, dass durch die von ihm 1864 formulierten Gleichungen der Elektrodynamik elektromagnetische Wellen vorhergesagt wurden, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit übereinstimmte. Daraus schloss er, dass __das Licht selbst eine elektromagnetische Welle sei__. Er vermutete (wie damals nahezu alle Physiker), dass diese Welle ein Ausbreitungsmedium bräuchte, das die gesamte Welt ausfülle, den so genannten Äther. Im ausgehenden 19. Jahrhundert schienen beinahe alle Fragen zum Licht geklärt. Allerdings ließ sich einerseits __der postulierte Äther im berühmt gewordenen Michelson-Morley-Experiment **nicht** nachweisen__, was letztendlich das Tor zur speziellen Relativitätstheorie aufstieß. Andererseits schien unter anderem der Fotoeffekt der Wellennatur des Lichts zu widersprechen. So entstand eine radikal neue Sichtweise des Lichts, die durch die Quantenhypothese von {{color text="Max Planck c="blue"}} (1858 - 1947) und Albert Einstein (1879 - 1955) begründet wurde. Kernpunkt dieser Hypothese ist der Welle-Teilchen-Dualismus, der das Licht nun nicht mehr ausschließlich als Welle oder ausschließlich als Teilchen beschreibt, sondern als Quantenobjekt, das weder das eine noch das andere ist und sich unserer konkreten Anschauung entzieht.

Daraus entstand Anfang des 20. Jahrhunderts die Quantenphysik und später die Quantenelektrodynamik, die bis heute unser Verständnis von der Natur des Lichts darstellt.

[Quelle; abgewandelt, gekürzt und ergänzt aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Licht]

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Nachfolgend (Abbildung 10) ist der für uns sichtbare Bereich des Lichtes dargestellt.

Die Übergange zu dem für uns nicht mehr sichtbaren Wellenlängen sind jedoch nicht klar abgegrenzt sondern muss man eher als einen allmählichen Übergang ansehen.



[Abbildung 10, Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg]

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Verwendete Quellen:

• Vorlesungsmitschrift bei Prof. Dr. Udo Behn

• http://de.wikipedia.org/wiki/Interferenz

• http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Gleichungen

• http://de.wikipedia.org/wiki/Licht

Verwendete Grafiken:

• Abbildung "Aufgepasst-Smiley": http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif

• Abbildung 1a): http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif

• Abbildung 1b): http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif

• Abbildung 2: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif

• Abbildung 3: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png

• Abbildung 5: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif

• Abbildung 9: http://web.physik.rwth-aachen.de/~hebbeker/lectures/ph2_02/tipl293.gif

• Abbildung 10: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Electromagnetic_spectrum_c.svg