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Tutorium Mathematik 2
Taylorreihe - Lösungen
| 1.1. Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =1/(5√(1+x)^3) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^4 mit Hilfe der Binomischen Reihe ! Lösung: α= -3/5 ((-3/5)/1) = -3/5 ((-3/5)/2) = ((-3/5)(-8/5))/1*2 = 12/25 ((-3/5)/3) = ((12/25)(-13/5))/3 = -52/125 ((-3/5)/4) = ((-52/125)(-18/5))/4 = 234/625 1/(5√(1+x)^3) = rund 1- 3/5x + 12/25x^3 + 234/625x^4 1.2 Entwickeln Sie die Funktion y = f(x) =√(1+sin(2x)) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe bis zum quadratischen Glied x^2! Lösung: f'(x) = 1/2(1+sin(2x))^-1/2* 2cos(2x) = cos(2x)/√(1+sin(2x)) f'(0) = 1 f(x) = -1/2(1+sin(2x))^-3/2* 2cos(2x)* cox(2x)+(1+sin(2x))^-1/2*(-2sin(2x)) f(x) =((sin(x)+cos(x))^4)/√(1+sin(2x))^3 f(0) = -1 √((1+sin(2x)) =rund 1+x-1/2x^2 1.3 Entwickeln Sie y=f(x)=ln(x+e^x) an der Stelle x0= 0 in eine Taylorreihe (Mac Laurin-Reihe) bis zum Glied x^2. Lösung: y = ln(x+e^x) y(0) = 0 y' = 1/(x+e^x)* (1+e^x) y'(0) = 2 y = ((x+x^x)e^x - (1+e^x)^2)/(x+e^x)^2 y(0) =-3 y(x) = 2x-3/2x^2 1.4 Entwickeln Sie y= f(x)= 1/(4√(1+x^2)^3) an der Stelle x0 = 0 in eine Taylorreihe bis zum Glied x^8 mit Hilfe der binomischen Reihe. Lösung: y = f(x) =1/(4√(1+x^2)^3) = (1+x^2)^-3/4 = (1+z)^-3/4 z = x^2 α = -3/4 (α) (0) =1 (-3/4) (1) = -3/4 (-3/4) (2) = ((3/4)(-7/4))/1*2 = 21/32 (-3/4) (3) = 21/32* (-11/4) (3) =77/128 (-3/4) (4) =-77/128* (-15/4) (4) =1155/2048 f(x) = 1-3/4x^2 + 21/32x^4 - 77/128x^6 + 1155/2048x^8 |
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