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Tutorium Mathematik 3


Variation der Konstanten - Lösungen


1.6 Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungenmit der Methode der „Variation der Konstanten“.
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante1.jpg)




zug. hom.:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante2.jpg)



 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante3.jpg)




















Variation der Konst.:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstant4.jpg)


 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante5.jpg)




in DGL:

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante6.jpg)










= allgemeine Lösung

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante7.jpg)




 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante8.jpg)
= spezielle Lösung



 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante9.jpg)


zug. hom.:
y' + 2y = 0

char. Gleichung:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante10.jpg)

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante11.jpg)



Variation der Konst.:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante12.jpg)




in inhom. DGL:

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante13.jpg)










mit part. Integration:

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante14.jpg)




















 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante15.jpg)
= allgemeine Lösung

y(0) = 25
25 = K - 10 --> K = 35

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante16.jpg)
= spezielle Lösung




1.6.3
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante17.jpg)



zug. hom.:
y' +2y = 0

charakt. Gl.:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante18.jpg)

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante19.jpg)


Var. d. Konst.:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante20.jpg)




in DGL:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante21.jpg)














K = 4
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante22.jpg)
= spezielle Lösung



1.6.4
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante23.jpg)



zug. hom.:
y' + 5y = 0

charakt. Gl.:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante24.jpg)

Var. der Konst.:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante25.jpg)



in DGL:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante26.jpg)









lin. Substitution:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante27.jpg)


 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante28.jpg)


= allgemeine Lösung


y(0) = K = 0
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante29.jpg)
= spezielle Lösung




1.6.5
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante30.jpg)


y(0) = -2

zug. hom.:
sin(x)y + cos(x)y' = 0

 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante31.jpg)








Var. d. Konst.: C ist nun Funktion von x
y = Ccos(x)
y'=C'cos(x)-Csin(x)

in DGL:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante32.jpg)
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante33.jpg)









u = x, u' = 1
v' = cos(x), v = sin(x)
C = xsin(x) + cos(x) + K
--> y = (xsin(x) + cos(x) + K) cosx) = allgemeine Lösung
y(0) = 1 + K = -2
K = -3
--> y = (xsin(x) + cos(x) -3) cos(x) = spezielle Lösung


1.6.6
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante34.jpg)



zug. hom.:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante35.jpg)












Var. d. Konst.: C ist nun eine Funktion von x
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante36.jpg)













in DGL:
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante37.jpg)

= allgemeine Lösung

y(0) = K - 1 = 2 --> K = 3
 (image: http://ife.erdaxo.de/uploads/TutoriumMathe3L8/Konstante38.jpg)



= spezielle Lösung




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