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Prozedurale Programmierung - Kapitel 3 - Datentypen und Operatoren

Inhalte von Dr. E. Nadobnyh

Begriffdefinition

Daten sind logisch gruppierte Informationseinheiten, die übertragen oder gespeichert werden können.

Verschiedene Arten von Daten werden durch den so genannten Datentyp bestimmt. Daten werden dabei in einer speziellen Bitcodierung abgelegt. Ein Datentyp ist die Zusammenfassung von Wertebereichen und die zulässigen Operatoren.

Die Datentypen ermöglichen es einem Compiler zu überprüfen, ob der Programmierer richtige Operatoren für die Berechnung von Daten angegeben hat.

C/C++ ist eine streng typisierte Programmiersprache. Jedes der folgenden Sprachkonstrukten hat einen festen Datentyp, der nicht geändert werden kann: Variablen, Konstanten, Literale, Objekte.

Klassifikation

Es gibt einfache und benutzerdefinierte Datentypen.

1. Benutzerdefinierte Datentypen müssen im Programm vor der Verwendung definiert werden.

2. Einfache (elementare, primitive, eingebaute, vordefinierte) Datentypen sind in der Sprache eingebaut und können in 2 Gruppen aufgeteilt werden:

1. Numerische Datentypen (Zahlentypen)

• Ganzzahlen und

• Gleitkommazahlen.

1. Nicht numerische (alphanumerische) Datentypen

• Wahrheitswerte und

• Zeichen.

Beschreibung eines Datentyps

Zur Beschreibung eines Datentyps gehören: Wertebereiche, Operatoren, Speicherbedarf, Konstruktionsregeln von Variablen, Konstanten und Literale.

Jede Dateneinheit benötigt Platz im Speicher. Je mehr Platz verfügbar ist, desto mehr Informationen lässt sich darin ablegen.

Der Bereich der darstellbaren Werte hängt davon ab, wie viele Bytes für den Datentyp reserviert werden.

Das Rechnen ist die namensgebende Aufgabe des Rechners. Wenn man mit dem Rechner rechnen will, sollte man die Arbeitsweise und die Grenzen den eingebauten Datentypen kennen.

Zahlentypen

Ganzzahlen und Gleitkommazahlen werden von der Hardware unterschiedlich unterstützt.

1. Ganzzahlen werden mit weniger Platzbedarf gespeichert und werden schneller als Gleitkommazahlen verarbeitet. Die gebräuchliche interne Darstellung ganzer Zahlen ist die Zweierkomplementdarstellung.

2. Gleitkommazahlen werden durch eine Mantisse und einen Exponenten dargestellt. Im Gegensatz zu den ganzzahligen Typen können die Zahlen im Gleitkommaformat nicht immer exakt dargestellt werden. Die Gleitkommatypen unterscheiden sich nicht nur in der Größe des Wertebereichs, sondern auch in der Genauigkeit der Darstellung.

⇒ Demo 1.

3.1. Ganzzahlige Datentypen

Ganze Zahlen

Ganzzahlige Typen unterstützen zwei Arten von Zahlen:

1. Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen. Sie umfassen alle Zahlen:

2. Als ganze Zahlen bezeichnet man die natürlichen Zahlen unter Hinzunahme der negativen Zahlen. Sie umfassen alle Zahlen:

Natürliche Zahlen bilden die Untermenge der ganzen Zahlen. Jede ganze Zahl wird im Computer exakt dargestellt.

Zahlenbereiche

Es gibt verschiedene Typen von ganzen und natürlichen Zahlen:

Typ	Größe in Bytes und Wertebereich
short	2	- 32 768 bis 32 767
unsigned short	2	0 bis 65 535
int	4	- 2 147 483 648 bis 2 147 483 647
unsigned int	4	0 bis 4 294 967 295

Datentypen „long” und “unsigned long” können die Größe von 4 oder 8 Bytes haben. Die tatsächlich verwendete Anzahl von Bytes variiert je nach Rechnersystem. Die Zahlen-bereiche sind in der Standardbibliothek (limits.h) zu finden.

⇒ Demo 2. Ganzzahlentypen

Ganzzahlige Literale

Literale sind durch folgende Beispiele dargestellt:

Datentyp	dezimal	oktal	hexadezimal
int	255	0377	0xFF
unsigned int	65535U	0177777	0xFFFF
long	10L	012L	0xAL
unsigned long	27UL	033UL	0x1BUL

Ganzzahlige Variablen und Konstanten

Um Variablen und Konstanten zu definieren, werden spezielle Schlüsselwörter verwendet: int, short, long, const.

Durch “unsigned” werden Variablen für natürliche Zahlen (ohne Vorzeichen) definiert.

Beispiele:

Operatoren für ganze Zahlen

1. Traditionelle arithmetische Operatoren

+ -	Vorzeichenoperatoren (unär)
+ - * /	Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division (binär)
%	Modulo-Operator (binär)

Diese Operatoren haben ganzzahlige Operanden und auch ganzzahliges Ergebnis. Deswegen wird der Rest der ganzzahligen Division abgeschnitten. Bei Bedarf kann der Rest mit dem Modulo-Operator ermittelt werden.
Beispiel: für int a=9, b=5; ist a/b gleich 1 und a%b gleich 4.

2. Kombinierte Zuweisungen (erweiterte arithmetische Operatoren, Kurzform-Operatoren), z.B.:
a += b; bedeutet a = a + b;

3. Inkrement- und Dekrement -Operatoren (unär)

a++	Postfix-Inkrement
a--	Postfix-Dekrement
++a	Präfix-Inkrement
--a	Präfix-Dekrement

Die ganzzahlige Variable „a“ ist der Operand des Operators.

Alle vier Operatoren verändern den Wert des Operandes
und liefern den Wert des Operandes als Ergebnis zurück.

Unter Inkrementierung wird Addition von 1 verstanden, unter Dekrementierung die Subtraktion von 1.

Präfix-Operator liefert den veränderten Wert. Postfix-Operator liefert den ursprünglichen Wert.


4. Vergleichsoperatoren (relationale Operatoren)

Diese Operatoren sind binär.

<	kleiner als
>	größer als
<=	kleiner als oder gleich
>=	größer als oder gleich
==	gleich
!=	ungleich

5. Bitoperatoren

Weil ganze Zahlen auch als Bitvektoren aufgefasst werden können, sind zusätzlich 11 die so genannten Bit-Operatoren möglich.

Bereichsüberschreitung

In der Mathematik haben ganze Zahlen einen unendlichen Zahlenbereich. Auf Rechnern haben ganze Zahlen dagegen begrenzte Zahlenbereiche. Ein Überlauf (Bereichsüberschreitung, arithmetischer Überlauf, overflow) tritt auf, wenn das Ergebnis einer
Berechnung für den gültigen Zahlenbereich zu groß ist.

Beispiel:
Erklärung:
Anmerkung:
Die gebräuchliche interne Darstellung ganzer Zahlen ist die so genannte Zweierkomplementdarstellung.

Für den Fehler ist der Programmierer verantwortlich. Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Durch die Wahl eines geeigneten Datentyps muss gesichert werden, dass der Bereich nicht überschritten wird.

2. Der Überlauf muss auf die eine oder andere Art dem Benutzer gemeldet werden, damit er entsprechend darauf reagieren kann.

Überschreitungen führen zu schweren Konsequenzen. Ein berühmtes Beispiel ist die Explosion der Rakete „Ariane-5“ am 4. Juni 1996. Der Grund dieser milliardenteuren Panne war der Überlauf der 16-Bit-Variablen.

3.2. Gleitkomma-Datentypen

Reelle Zahlen

1. Reelle Zahlen können für die Repräsentation von messbaren Größen verwendet werden. Reelle Zahlen werden unterteilt in rationale und irrationale.

2. Eine rationale (gebrochene) Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Rationale Zahlen bilden die Untermenge der reellen Zahlen.

3. Zu den irrationalen Zahlen gehören z.B. die Kreiszahl ∏ = 3,14159... und die Eulersche Zahl e = 2,71828...
4. Ganze Zahlen bilden die Untermenge der rationalen Zahlen.

5. Prinzipiell können reelle Zahlen als Kommazahl dargestellt werden. Statt des Kommas kann ein Dezimalpunkt verwendet werden.


Gleitkommazahlen

Gleitkommazahlen (Gleitpunkt-, Fließkomma-, Floatingpoint-Zahlen) repräsentieren reelle Zahlen in einem Rechner.

Gleitkommazahlen werden in der Hardware durch eine Basis (B), eine Mantisse (M) und einen Exponenten (E) abgelegt:
M*B^E.

Die Mantisse legt die Genauigkeit fest, der Exponent bestimmt die Größenordnung der Zahl.

Eigenschaften:
1. Die Exponentialdarstellung ist für Berechnungen mit sehr kleinen oder sehr großen Zahlen geeignet.

2. Im Gegensatz zu ganzen Zahlen können reelle Zahlen als Gleitkommazahlen nur mit einer bestimmten Genauigkeit abgebildet werden.

Anmerkung 1:
Im Computer wird das Binärsystem und darum die Basis B=2 verwendet.

Anmerkung 2:
Gleitkommazahlen können manchmal auch´als reelle Zahlen oder als gebrochene Zahlen bezeichnet werden.

Anmerkung 3:
Ungeachtet der internen Darstellung können die Gleitkommazahlen im Programm oder bei der Ausgabe in den zwei gebräuchlichen Formaten dargestellt werden: als Festkommazahl und als Gleitkommazahl (Exponentialschreibweise).

Beispiele:

Gleitkomma-Typen

Es gibt verschiedene Darstellungen von Gleitkommazahlen:

Typ	Größe in Bytes und Wertebereich
float	4	±1.1E-38 bis ±3.4E+38
double	8	±2.2E-308 bis ±1.7E+308
long double	12	±3.3E-4932 bis ±1.1E+4932

Gleitkommatypen unterscheiden sich nicht nur in der Größe des Wertebereichs, sondern auch in der Genauigkeit der Darstellung.

Durch die Genauigkeit bezeichnet man, wie viele signifikanten Stellen einer Dezimalzahl im jeweiligen Typ dargestellt werden können.

Typ	float	double	long double
Stellen	ca. 6	ca. 15	ca. 18

⇒ Demo 3. Gleitpunkttypen

Gleitkomma-Literale

Literale können folgende Bestandteile haben:

1. Vorzeichen
2. Vorkommaanteil
3. Dezimalpunkt
4. Nachkommaanteil
5. Buchstaben e oder E
6. Vorzeichen des Exponenten .
7. Wert des Exponenten
8. Suffix F, f -für float und l -für long double

Dabei darf fehlen:

1) entweder der Vor- oder der Nachkommaanteil (wird als 0 angenommen);
2) jedes der Vorzeichen (wird als + angenommen);
3) entweder der Dezimalpunkt (wird als 0 angenommen) oder der Exponent (wird als 10⁰ = 1 angenommen);
4) Suffix (wird als double angenommen).

Beispiel: -2.3E-1F entspricht -2.3·10^-1 float.

Operatoren für Gleitkommazahlen

1. Vorzeichenoperatoren.

2. Arithmetische Operatoren: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

3. Der Modulo-Operator ist nicht anwendbar.

4. Kombinierte Zuweisungen.

5. Vergleichsoperatoren.

6. C/C++ kennt keinen Potenzierungs-Operator.

Bereichsüberschreitungen

Aufgrund der endlichen Größe des Exponenten gibt es zwei Arten von Bereichsüberschreitungen:

1. Ein Überlauf (overflow) tritt auf, wenn das Ergebnis einer Berechnung betragsmäßig größer als die größte darstellbare Zahl ist.

Die Division durch zu kleiner Werte ergibt einen Überlauf.

Beispiel:

2. Ein Unterlauf (underflow) tritt auf, wenn das Ergebnis betragsmäßig kleiner als die kleinste darstellbare Zahl ist. Das Resultat wird dann gleich 0 gesetzt.

Beispiel:

Genauigkeit

Wegen der Diskretheit können reelle Zahlen als Gleitkommazahlen nur mit einer bestimmten Genauigkeit abgebildet werden. Anders gesagt, eine Gleitkommazahl besitzt nicht beliebig viele signifikante Stellen.

Mehrere reelle Zahlen haben die unendliche periodische oder nicht periodische Ziffernfolge und daher können nur mit Rundungsfehler dargestellt werden, z.B.:


Im Binärsystem tritt dieses Problem auch bei Zahlen mit endlicher Dezimaldarstellung auf, z.B.: dezimal 0.1 wird
binär zu 0.00011001100...

Zum Vergleich: dezimal 1/3 wird binär zu 0.01010101...

Berechnungen mit Gleitkommazahlen

Aufgrund der Genauigkeitsgrenzen ergeben sich Unterschiede zwischen rein mathematischen Berechnungen und Computerberechnungen:

1) Kumulierte Rundungsfehler entstehen bei der Summe von Gleitkommazahlen mit Rundungsfehlern. Dabei werden Rundungsfehler kumuliert, z.B.:


Mathematisches Ergebnis ist 100000. Als eine Alternative kann die Multiplikation verwendet werden.

2) Die Abfrage auf Gleichheit kann falsches Ergebnis liefern, da aufgrund von Rundungsfehlern zwei Gleitkommazahlen selten gleich sind, z.B.:


3) Bei der Subtraktion zweier fast gleich großer Werte heben sich die signifikanten Ziffern auf. Die Differenz wird somit ungenau. Dieser Effekt ist unter dem Namen numerische Auslöschung bekannt.

4) Ergebnisse können von der Reihenfolge der Berechnung abhängen.

Für den Fehler ist der Programmierer verantwortlich. Er muss durch die Wahl eines geeigneten Datentyps und einer geeigneten Reihenfolge dafür sorgen, dass das Ergebnis der erwarteten Genauigkeit entspricht.

⇒ Demo 4. Auslöschung

3.3. Nichtnumerische Datentypen

Der Datentyp char

Der Datentyp char kann auf zwei unterschiedliche Arten verwendet werden:

1) Ein char-Wert dient der Darstellung von einzelnen Zeichen wie 'a', 'A', 'b', 'B', '5', '7', '§' usw. für Tastatureingabe und Bildschirmausgabe.

char-Werte sind intern eine 1-Byte-Ganzzahl und werden durch entsprechenden Zeichencode (ASCII-Code) als Zeichen interpretiert.

2) Ein char kann genutzt werden, um kleine Ganzzahlen zu verarbeiten.

Typ und Größe in Bytes		Wertebereich
char	1	–128 bis +127
unsigned char	1	0 bis 255

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